(第8章)高斯平面直角坐標(biāo)

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1、第八章高斯平面直角坐標(biāo)2006版控制測(cè)量學(xué)講稿第八章高斯平面直角坐標(biāo)§1正形投影的基本公式一、地圖投影的概念1.投影的必要性及其方法①投影的必要性：測(cè)量工作的根本任務(wù)，是測(cè)定地面點(diǎn)的坐標(biāo)和測(cè)繪各種地形圖。因：1）橢球面上計(jì)算復(fù)雜；2）地圖是畫(huà)在平面圖紙上，故，有必要將橢球面上的坐標(biāo)、方向、長(zhǎng)度投影到平面上。②投影的方法：按一定的數(shù)學(xué)法則，得到如下的解析關(guān)系（函數(shù)關(guān)系）x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)式中B，L——橢球面上的大地坐標(biāo)x，y——投影平面上的直角坐標(biāo)按高斯投影方法得到的平面直角坐標(biāo)x，y叫高斯平面

2、直角坐標(biāo)。2.投影的分類(lèi)橢球面是不可展開(kāi)的曲面（圓柱，圓錐面是可展開(kāi)曲面）。若展開(kāi)成平面，必產(chǎn)生變形。投影按變形的性質(zhì)可分為：等距離投影━投影后地面點(diǎn)見(jiàn)的距離不變等面積投影━保證投影后面積不變等角投影━投影后微分范圍的形狀相似3.測(cè)量采用的投影測(cè)量工作從計(jì)算和測(cè)圖考慮，采用等角投影（又稱(chēng)正形投影、保角投影）。其便利在于：1）可把橢球面上的角度，不加改正地轉(zhuǎn)換到平面上。（注：橢球面上大地線(xiàn)投影到平面上亦為曲線(xiàn)。為實(shí)用，需將投影的曲線(xiàn)方向改正為兩點(diǎn)間弧線(xiàn)方向，稱(chēng)方向改化。方向改化是在平面上為實(shí)用而做的工作，非投影工

3、作。且：①改化小，公式簡(jiǎn)單；②只在等級(jí)控制改化，圖根控制、測(cè)圖不顧及）橢球面上投影面上BB′dcdadc′da′ACA′C′dbdb′2）因微分范圍內(nèi)投影前后圖形相似，則大比例尺圖的圖形與實(shí)地完全相似，應(yīng)用方便。二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如圖：對(duì)于保角投影：A′＝A；B′＝B；C′＝C所以長(zhǎng)度比124第八章高斯平面直角坐標(biāo)2006版控制測(cè)量學(xué)講稿故，正形投影在一個(gè)點(diǎn)（微分范圍）上，各方向長(zhǎng)度比相同。即投影后保持圖形相似。例如下圖，對(duì)一個(gè)任意形狀的微小圖形，總可以取一個(gè)邊數(shù)極多的中點(diǎn)多邊形逼近它，

4、對(duì)于正形投影：aa′bb′ooee′cc′dd′但上述特點(diǎn)只在微分范圍內(nèi)成立。在廣大范圍內(nèi)，投影前后圖形保持相似是不可能的（否則意味著橢球面可以展開(kāi)）。因此，在大范圍內(nèi)，各處的長(zhǎng)度比m必定不同。結(jié)論：正形投影的特性：長(zhǎng)度比m與方向無(wú)關(guān)，但隨點(diǎn)位而異。2.正形投影基本公式（充要條件）l+dlLGlB+dBP2BdSP1特定子午線(xiàn)設(shè)橢球面上有無(wú)限趨近的兩點(diǎn)P1，P2橢球面上：P1(B，L)P2(B＋dB，L＋dL)大地線(xiàn)長(zhǎng)度dS投影面上：p1(x，y)p2(x＋dx，y＋dy)大地線(xiàn)長(zhǎng)度的投影dsxP2′dsP1′

5、yo投影長(zhǎng)度比為：下面分別推導(dǎo)上式中dS和ds：（dS和ds為曲線(xiàn)，但對(duì)微分線(xiàn)段，將其看成各自三角形的斜邊）dS2＝(MdB)2＋(NcosBdl)2＝(MdB)2＋(rdl)2＝r2[(dB)2＋(dl)2]引入等量緯度，則dq＝()dB（引入等量緯度純粹為了推導(dǎo)公式方便）dS2＝r2[(dq)2＋(dl)2]另：x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)因q與B有確定的關(guān)系，l與L有確定的關(guān)系，所以有：x＝f1(q，l)y＝f2(q，l)124第八章高斯平面直角坐標(biāo)2006版控制測(cè)量學(xué)講稿微分得：故：P2MdBA

6、90°-AP1rdl令：則：ds2＝Edq2＋2Fdq.dl＋Gdl2故：⑴由微分三角形知：所以：dl＝dq·tanA⑵將⑵代入⑴得：欲使投影為正形投影，長(zhǎng)度比m應(yīng)與方向(A)無(wú)關(guān)。為此：令：F＝0；E＝G即：⑶⑷則上式為：（可看出m與方向無(wú)關(guān)）由⑶式可解得：⑸⑸式代入⑷得：⑹⑹式開(kāi)平方得：⑺124第八章高斯平面直角坐標(biāo)2006版控制測(cè)量學(xué)講稿⑺取正號(hào)代入⑸得：⑻（注：⑺式取正號(hào)意義是：選取橢球面和平面坐標(biāo)軸方向時(shí)，要求在經(jīng)線(xiàn)方向上q增加時(shí)，平面上x(chóng)也增加；沿緯線(xiàn)方向l增加時(shí)，y也增加）故，橢球面到高斯平面上的

7、正形投影公式（柯西黎曼方程）：（此即正形投影的充分必要條件）3.證明復(fù)變函數(shù)x＋iy＝f(q＋il)當(dāng)f′存在、且≠0時(shí)亦為正形投影證明如下：基本投影公式x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)亦可寫(xiě)成x＝f1(q，l)y＝f2(q，l)用復(fù)變函數(shù)形式寫(xiě)出為x＋iy＝f(q＋il)（q＋il—復(fù)變數(shù)；）令x＋iy＝zq＋il＝u則z＝f(u)求導(dǎo)⑼⑽由⑼、⑽式可得⑾因z＝x＋iy故⑿⒀將⑿、⒀式代入⑾式得⒁⒁式虛實(shí)分開(kāi)124第八章高斯平面直角坐標(biāo)2006版控制測(cè)量學(xué)講稿此即柯西黎曼方程。證畢。練習(xí)及作業(yè)：1、閱讀§

8、8.1，§8.22、理解：①、投影的必要性及方法。②、投影的分類(lèi)及測(cè)量采用的投影類(lèi)型。③、正形投影的特性?！?高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)一、高斯投影的一般解釋及其特性1.高斯投影的幾何意義x中央子午線(xiàn)y邊緣子午線(xiàn)Np1sP1Sp2P2o赤道S高斯投影的幾何意義是橫軸橢圓柱正形投影。設(shè)想一橫橢圓柱面套在橢球上，與某一子午線(xiàn)（稱(chēng)軸子午線(xiàn)或中央子午線(xiàn)）相切。橢圓柱的中心軸通過(guò)橢球中心，且與橢