第三章 條件概率與條件期望

《第三章 條件概率與條件期望》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、第三章條件概率與條件期望為什么要研究條件概率與期望?在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，常常需要計(jì)算在部分信息已知時(shí)的概率和期望?條件概率和條件期望本身是計(jì)算概率和期望的有效方法2012/3/2Copyright?PeiZhang,20122本章主要內(nèi)容?離散隨機(jī)變量的條件概率與條件期望?連續(xù)隨機(jī)變量的條件概率與條件期望?條件概率與條件期望的作用2012/3/2Copyright?PeiZhang,20123第一節(jié)離散隨機(jī)變量的條件概率與條件期望?如果X和Y是離散隨機(jī)變量，在Y=y給定的條件下，X的條件概率密度函數(shù)定義為：P{X?x,Y?y}p(x,y)p(x

2、

3、y)?P{X?x

4、Y?y}??X

5、YP{Y?y}p(y)Y?在Y=y給定的條件下，X的條件分布密度函數(shù)定義為：FX

6、Y(x

7、y)?P{X?x

8、Y?y}??pX

9、Y(a

10、y)a?x2012/3/2Copyright?PeiZhang,20124?在Y=y的條件下，X的條件期望定義為：E[X

11、Y?y]??xP{X?x

12、Y?y}??xpX

13、Y(x

14、y)xx?特別地，如果X和Y獨(dú)立，那么，前面所有的定義和無(wú)條件時(shí)的一樣。2012/3/2Copyright?PeiZhang,20125例3.1?假定X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)p(x,y)為：p(1,1)=0

15、.5,p(1,2)=0.1,p(2,1)=0.1,p(2,2)=0.3計(jì)算在Y=1給定的條件下X的條件概率密度函數(shù)。2012/3/2Copyright?PeiZhang,20126例3.2?有n個(gè)零件，零件i在雨天運(yùn)轉(zhuǎn)的概率為pi，在非雨天運(yùn)轉(zhuǎn)的概率為qi，i=1,2，……,n。明天下雨的概率為?。計(jì)算在明天下雨時(shí)，運(yùn)轉(zhuǎn)的零件數(shù)的條件期望。2012/3/2Copyright?PeiZhang,20127第二節(jié)連續(xù)隨機(jī)變量的條件概率與條件期望?X和Y是連續(xù)隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)，那么在Y=y時(shí)X的條件概率密度函數(shù)定義為：f(x,y)

16、f(x

17、y)?X

18、Yf(y)Y?給定Y=y時(shí)X的條件期望定義為：??E[X

19、Y?y]?xf(x

20、y)dx?X

21、Y??2012/3/2Copyright?PeiZhang,20128例3.3?假定X和Y有聯(lián)合密度?6xy(2?x?y),0?x?1,0?y?1f(x,y)???0,其他對(duì)于0

22、Y?1]2012/3/2Copyright?

23、PeiZhang,201210第三節(jié)條件概率與條件期望的應(yīng)用一、通過(guò)取條件期望計(jì)算期望?對(duì)于任何的隨機(jī)變量X和Y，條件期望的重要性質(zhì)：E[X]?E[E[X

24、Y]]注意：E[X

25、Y]本身是一個(gè)隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，在Y=y處取值是E[X

26、Y=y]2012/3/2Copyright?PeiZhang,201211例3.5?假設(shè)我們正在讀一本概率書(shū)和一本歷史書(shū)，在讀的一章概率書(shū)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)服從均值為2的泊松分布，在讀的一章歷史書(shū)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)服從均值為5的泊松分布，假定我們等可能地選取概率書(shū)或歷史書(shū)，那么遇到的印刷錯(cuò)誤數(shù)的期望是多少？201

27、2/3/2Copyright?PeiZhang,201212例3.6（幾何分布的均值）?連續(xù)拋擲一枚正面出現(xiàn)的概率為p的硬幣直至出現(xiàn)正面為止，問(wèn)需要拋擲的次數(shù)的期望是多少？2012/3/2Copyright?PeiZhang,201213例3.7?某礦工身陷在有三個(gè)門(mén)的礦井之中，經(jīng)第1個(gè)門(mén)的通道行進(jìn)2小時(shí)后，他將到達(dá)安全地。經(jīng)第二個(gè)門(mén)的通道前進(jìn)3小時(shí)后，他將回到原地。經(jīng)過(guò)第三個(gè)門(mén)的通道前進(jìn)5小時(shí)后，他還是回到原地。假定這個(gè)礦工每次都等可能地選取任意一個(gè)門(mén)，問(wèn)直到他到達(dá)安全地所需時(shí)間的期望是多少？2012/3/2Copyright?PeiZhan

28、g,201214二、通過(guò)取條件期望計(jì)算方差?方差的計(jì)算公式為：22Var(X)?E[X]?(E[X])用取條件期望分別計(jì)算兩個(gè)期望值2012/3/2Copyright?PeiZhang,201215例3.8?連續(xù)地做每次成功率為p的獨(dú)立試驗(yàn)。N是首次成功時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，求Var（N）2012/3/2Copyright?PeiZhang,201216三、通過(guò)取條件期望計(jì)算概率?E是一個(gè)事件，定義示性隨機(jī)變量X為：?1，若E發(fā)生X???0，若E不發(fā)生由X的定義推出：E[X]=P(E)E[X

29、Y=y]=P(E

30、Y=y)2012/3/2Copyright

31、?PeiZhang,201217由此可以推出：??P(E

32、Y?y)P(Y?y)，若Y是離散的?yP(E)?????P（E

33、Y?y）f(y)dy,若Y是