線性代數(shù)3.3實對稱矩陣的特征值和特征向量

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1、§3.3實對稱矩陣特征值和特征向量永遠(yuǎn)可以對角化。實數(shù)域上的對稱矩陣簡稱為實對稱矩陣。這類矩陣的最大優(yōu)點是特征值都是實數(shù),定理3.12實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。一、實對稱矩陣特征值的性質(zhì)證明:設(shè)是階實對稱矩陣,是矩陣的在復(fù)數(shù)域上的任一特征值,屬于的特征向量為兩邊取復(fù)數(shù)共軛得到則,于是,(3.11)由于,對最后一式取復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)置,得到兩邊再右乘,得到所以有特征值都是實數(shù)。這樣,是實數(shù)。由的任意性,實對稱矩陣的特征向量都是實數(shù)向量。附注:進(jìn)一步地有,實對稱矩陣的屬于特征值的一、實對稱矩陣特征值的性質(zhì)定理3.12實對稱矩陣的特征值都是實

2、數(shù)。對上面第一式兩邊左乘,的特征向量。定理3.13實對稱矩陣的屬于不同特征向量相互正交。證明:特征值的設(shè),是實對稱矩陣的不同特征值,,分別是屬于特征值,于是,得到(3.12)而于是有這樣,由得到是正交的。,即與特征向量相互正交的線性無關(guān)組。【注】實對稱矩陣的屬于不同特征值的向量和對應(yīng)特征向量在§3.1中例4中,例1矩陣是實對稱矩陣,特征值(二重)對應(yīng)特征都正交。把它們化為標(biāo)準(zhǔn)正交組。當(dāng)然,彼此不正交,但可以通過標(biāo)準(zhǔn)正交化方法為矩陣。把分塊為,也是的屬于的定理3.14設(shè)是n階實對稱矩陣,則存在正交陣,使為對角陣.下面證明對于n階實

3、對稱矩陣來說定理成立。證明:對矩陣的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時,定理結(jié)論顯然成立.假設(shè)對于所有階實對稱矩陣來說定理成立。故不妨設(shè)是單位向量,設(shè)是的一個特征值,是屬于特征值的特征向量,顯然單位向量特征向量.第一列任意正交矩陣。記是以為其中則及與的各列向量都正交,注意到根據(jù)歸納法假設(shè),其中為階實對稱矩陣。使得對存在階正交矩陣所以并且令,則均為階正交矩陣,這表明階實對稱矩陣定理結(jié)論成立。為對角矩陣。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,對任意對每個,其中為重的,二、實對稱矩陣對角化方法具體步驟如下:根據(jù)定理3.14,任意一個實對稱矩陣都可以對角化。求出的所

4、有特征值,第一步對給定實對稱矩陣,解特征方程,設(shè)的所有不同的特征值為;第二步解齊次線性方程組求出它的一個基礎(chǔ)解系;得到正交向量組,第三步利用施米特正交化方法,把正交化,再把單位化,得到一個標(biāo)準(zhǔn)正交組,;注意:它們都是屬于的線性無關(guān)特征向量?。∏业谒牟搅?,則是正交陣,為對角陣,與中正交列向量組(特征向量?。┡帕许樞蛳鄬?yīng)。附注:矩陣主對角線元素(特征值?。┡帕许樞颍▽崒ΨQ矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形!?。┰诓挥嬇帕许樞蚯闆r下,這種對角化形式是唯一的。例2對矩陣求一正交陣,使成對角矩陣。的特征多項式為解:矩陣解特征方程得特征值(二重),。即求解對

5、于,解齊次線性方程組得到一個基礎(chǔ)解系,。對于,即求解解齊次線性方程組,得到一個基礎(chǔ)解系。把正交化:得到將單位化,構(gòu)造矩陣的屬于0的特征向量為。則為正交矩陣,并且使得矩陣對角化為:,求矩陣。例3.設(shè)三階實對稱矩陣的特征值為,(二重),而解:因三階實對稱矩陣必可對角化,本題中對應(yīng)于二重特征值1的線性無關(guān)向量應(yīng)有兩個特征向量組成,設(shè)為。根據(jù)定理3.13,它們都與正交,故是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,所以,可取(彼此正交)將它們單位化:則,是正交組,構(gòu)造矩陣則為正交矩陣,對角化為:并且使得矩陣于是

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