吳健--函數(shù)綜合

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1、2012年暑期高中數(shù)學夏令營講義吳健1.二次函數(shù)一、基礎知識1．二次函數(shù)：當0時，f(x)=ax2+bx+c稱為關于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同.2．二次函數(shù)的性質：當a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（-∞，x0]上隨自變量x增大函數(shù)值減?。ê喎Q遞減），在[x0,-∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）.當a<0時，情況相反.3．當a>0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③與函數(shù)f(x)的關系如

2、下（記△=b2-4ac）.1）當△>0時，方程①有兩個不等實根，設x1,x2(x1

3、xx2}和{x

4、x1

5、x}和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點.3）當△<0時，方程①無解，不等式②和不等式③的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無公共點.當a<0時，請自己分析.4．二次函數(shù)的最值：若a>

6、0，當x=x0時，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，則當x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區(qū)間[m,n]上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，當x0∈[m,n]時，f(x)在[m,n]上的最小值為f(x0);當x0n時，f(x)在[m,n]上的最小值為f(n)（以上結論由二次函數(shù)圖象即可得出）.二、方法與例題例1若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求.例2.設函數(shù)（）。對于給定的負數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得在整個區(qū)間上，不等式都成立。問為何值時最大？求出這

7、個最大的。例3.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)，若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x))=x也無實根.8例4設為實數(shù)，函數(shù).學科網(wǎng)(1)若，求的取值范圍；學科網(wǎng)(2)求的最小值；學科網(wǎng)(3)設函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.學例5．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上滿足

8、f(x)

9、≤1,試求

10、a

11、+

12、b

13、+

14、c

15、的最大值.例6設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)滿足下列條件：1）當x∈R時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；2）當x∈(0,2)時，

16、f(x)≤;3）f(x)在R上最小值為0.求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]就有f(x+t)≤x.三、練習題1.設實數(shù)a、b、c滿足a2－bc－8a＋7＝0…………①b2＋c2＋bc－6a＋6＝0…………②求a的取值范圍.2.對一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a

17、x

18、≤1時，

19、f(x)

20、≤1,(1)求證：

21、c

22、≤1;(2)求證：當

23、x

24、≤1時，

25、g(x)

26、

27、≤2;(3)當a>0且

28、x

29、≤1時，g(x)最大值為2，求f(x).5.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有實數(shù)根，且f(x)＝1在(0，1)內(nèi)有兩個實數(shù)根，求證：a＞4.6．設實數(shù)、、、滿足條件：，且，．求證：方程有一根滿足．82.函數(shù)的性質一、基礎知識1.單調(diào)性：設函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1,x2∈I并且x1f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間.2.奇偶性：設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，且D是關于原點對稱的數(shù)集，若對于任

30、意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù).奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.3．周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期.4．函數(shù)的圖象，點集{(x,y)

31、y=f(x),x∈D}稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域.通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x

32、)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關系(a,b>0)；（1）向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個單位得