13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題

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1、13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題商丘市梁園區(qū)謝集二中郭白云【課的類型】新授課?!窘虒W(xué)目標(biāo)】1、知識與技能:通過對最短路徑問題的探索,進(jìn)一步理解和掌握兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短。2、過程與方法:讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的過程,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力,掌握探索最短路徑問題的思想和方法。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗(yàn),樹立自信心,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系?!窘虒W(xué)重點(diǎn)】運(yùn)用所學(xué)知識解決最短路徑問題?!窘虒W(xué)難點(diǎn)】選擇合理的方法解決問題。【教學(xué)方法】討論法、講解法?!窘虒W(xué)用具】多媒體課件?!窘虒W(xué)過程

2、】一、引言:前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”等的問題,我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題,本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”和“建橋問題”.二、探索新知(一)將軍飲馬問題問題1: 相傳,古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者,名叫海倫.有一天,一位將軍專程拜訪海倫,求教一個(gè)百思不得其解的問題:從圖中的A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索

3、,利用軸對稱的知識回答了這個(gè)問題.這個(gè)問題后來稱為“將軍飲馬問題”.你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎?追問1 這是一個(gè)實(shí)際問題,你打算首先做什么?追問2 你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思,并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎?(1)從A地出發(fā),到河邊l飲馬,然后到B地;(2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處,把這些地點(diǎn)與A,B連接起來的兩條線段的長度之和,就是從A地到飲馬地點(diǎn),再回到B地的路程之和;(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn).設(shè)C為直線上的一個(gè)動點(diǎn),上面的問題就轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí),AC與CB的和最?。ㄈ鐖D).問題2

4、如圖,點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí),AC與CB的和最???追問1 對于問題2,如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處,滿足直線l上的任意一點(diǎn)C,都保持CB與CB′的長度相等?追問2 你能利用軸對稱的有關(guān)知識,找到上問中符合條件的點(diǎn)B′嗎?作法:(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′;(2)連接AB′,與直線l相交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C即為所求.問題3 你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎?證明:如圖,直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C不重合),連接AC′,BC′,B′C′.由軸對稱的性質(zhì)知,BC=B′C,BC′=B′C′.∴ 

5、AC+BC=AC+B′C=AB′,AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′,∴ AC+BC<AC′+BC′.  即 AC+BC最短.追問1 證明AC+BC最短時(shí),為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C不重合),證明AC+BC<AC′+BC′?這里的“C′”的作用是什么?追問2 回顧前面的探究過程,我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的?(二)建橋問題多媒體出示問題教材第86頁例題。思考:1、要保證路徑最短,就要使哪些線段的和最???2、無論點(diǎn)M在什么位置,MN的長度是否發(fā)生變化?為什么?學(xué)生討論,教師點(diǎn)評。展

6、示圖13.4-9的證明過程。歸納小結(jié)(1)本節(jié)課研究問題的基本過程是什么?(2)軸對稱在所研究問題中起什么作用?布置作業(yè)教科書復(fù)習(xí)題13第15題.【板書設(shè)計(jì)】一、創(chuàng)設(shè)情境二、探索新知(一)將軍飲馬問題問題1:問題2:(二)建橋問題三、歸納總結(jié)

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