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《增加食餌-捕食者模型)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、常微分方程第二章初等積分法(4)主講人：富明慧教授stsfmh@mail.sysu.edu.cn一已知曲線族的等角軌線族§2.6應(yīng)用舉例求曲線族：使中任意一條曲線與的所有曲線的夾角為恒定值。，稱這樣的曲線族（2）為已知曲線族（1）的等角軌線族。1、基本概念已知曲線族：當(dāng)時(shí)，稱曲線族（2）為（1）的正交軌線族，，2已知曲線族的微分方程消去上式中的C，既得相應(yīng)微分方程：由再利用其中是由決定的函數(shù)（4）方程（4）在點(diǎn)的線素斜率記為，而把與它相交成角的線素斜率記為。當(dāng)時(shí)，有從而等角軌線的微分方程為3等角軌線族的微分方程由三角公式：得：當(dāng)時(shí)，有，即所求正交
2、軌線的微分方程為（6）注意，在方程（4），（5）與（6）中的函數(shù)是相同的。（5）求解微分方程（5）（或（6）），就可以得到（1）的等角軌線族（或正交軌線族）（2）。需要注意的是，在推導(dǎo)方程（4）時(shí)，。這樣，由可以決定y是x的單值函數(shù)。而則可決定x是y的函數(shù)。然后進(jìn)行類似推導(dǎo)。若將微分方程(4),(5)和(6)改變?yōu)閷?duì)稱形式，就不必區(qū)分上述兩種情形。應(yīng)有等角軌線族不僅在數(shù)學(xué)本身有用（例如當(dāng)它們可以取為坐標(biāo)系），而且在某些物理與力學(xué)問(wèn)題中也有用，例如靜電場(chǎng)中的電力線與等勢(shì)線就是互相正交的曲線族。作為一個(gè)例子，設(shè)電力線族的方程為（K為參數(shù)），這是一個(gè)拋
3、物線族時(shí)，從聯(lián)立方程,（7）中消去，得到一個(gè)對(duì)稱形式的微分方程。因此，與之正交的曲線族的微分方程為，它的通積分為。這就是所求的等勢(shì)線族（同心橢圓族）。二人口增長(zhǎng)模型用表示某地區(qū)在時(shí)間的人口總數(shù)記為人口增長(zhǎng)率（出生率與死亡率之差）。由于在時(shí)間內(nèi)的平均增長(zhǎng)率為，其中為人口的增量，所以即（8）這就是人口總數(shù)N所滿足的微分方程。馬爾薩斯人口模型：假設(shè)r為常數(shù)初值問(wèn)題（9）的解為（10）人口是按指數(shù)曲線增長(zhǎng)的，顯然不符合實(shí)際。修正模型：（11）假設(shè)其中正數(shù)a和b稱為生命系數(shù)。一些生態(tài)學(xué)家測(cè)得a的自值為0.029，而b的值則取決于各地區(qū)社會(huì)經(jīng)濟(jì)條件。方程（8
4、）修正為（12）這是一個(gè)變量分離的方程。初值問(wèn)題：（13）的解為（14）美國(guó)和法國(guó)曾用這個(gè)公式預(yù)報(bào)過(guò)人口的變化，結(jié)果與實(shí)際十分吻合；而比利時(shí)則不甚符合，原因是當(dāng)時(shí)比利時(shí)向剛果進(jìn)行著大量移民。至于我國(guó)，見書里P57，即?。?979，=9.7092乘，r0=0.0145,則由（11）式可得利用公式（14）可以對(duì)我國(guó)大陸地區(qū)的人口總數(shù)作出估算。（15）分離變量并積分得方程的通解為由初始條件得代入得雪球的體積隨時(shí)間的變化關(guān)系為食餌（甲）數(shù)量y(t),捕食者（乙）數(shù)量x(t)甲獨(dú)立生存的增長(zhǎng)率乙使甲的增長(zhǎng)率減小，減小量與x成正比乙獨(dú)立生存的死亡率甲使乙的死
5、亡率減小，減小量與y成正比食餌-捕食者模型(Volterra)~捕食者掠取食餌能力~食餌供養(yǎng)捕食者能力作業(yè)P62習(xí)題2-61(2),2(4),3,5
