地圖投影論文

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1、地圖投影論文學(xué)號:院系:班號:姓名:等角圓錐投影的分析、變換及其應(yīng)用等角圓錐投影指在地圖上沒有角度變形的圓錐投影。它是德國數(shù)學(xué)家蘭勃脫所擬定,故又稱蘭勃脫正形圓錐投影,由于這種投影是一圓錐切割地球的兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線,又稱雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影。很多中緯度國家和地區(qū)多采用這種投影來編制中、小比例尺地圖。在圖上,為了保持等角條件,必須使圖上任一點的經(jīng)線比與緯線比相等。圓錐面展平后,經(jīng)線為交于圓心的直線束,但經(jīng)線之間的夾角小于緯線呈同心圓弧,緯線的間距從中間向南向北逐漸增大。在此,因為投影又是等角圓錐投影,

2、所以必須滿足等角投影條件,用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示:1、經(jīng)緯線投影后正交即2、一點上任一方向的方位角投影后保持相等即而在將橢球面投影在平面時,圖形如下:C點對A方位角為,經(jīng)緯線投影后夾角θ'的表達(dá)式:,方位角投影后對應(yīng)的投影方位角為α’,其正弦和余弦表達(dá)式為:,因為由,可推出:或又因為由即所以上式即為等角條件的表達(dá)式。由得:由(1)式求出代入(2)式得到等角條件:在等角圓錐中,同一點上各方向的長度比相等,與方向無關(guān)。又由等角條件m=n或ω=0則,,代M和r并積分得:其中esinφ=sinψ。式中K為積分常

3、數(shù),當(dāng)φ=0時,ρ=K,K的幾何意義為赤道的投影半徑,上式可寫成:,,其中a,K為投影常數(shù)。等角圓錐投影的一般公式如下:當(dāng)φ=φ0,上式有極值,在一般情況下α,ρ,M,r不為0,則即α=sinφ0φ0為長度比最小的緯線的緯度,可求n對φ的二階導(dǎo)數(shù)證明φ0處的長度比為最小值。之后再指定制圖區(qū)域一條緯度無長度變形,使通過φ0處長度比n0為最小,即在該緯線上保持主比例尺不變的條件(n0=1)來決定投影常數(shù)。則a=sinφ0由n0=1即,此過程便是等角圓錐投影的定義過程?,F(xiàn)如今,等角圓錐投影的使用非常廣泛

4、,在我國的分省地圖邊多采用這種投影。中學(xué)使用的地圖冊中,中國地理的所有分區(qū)地圖,以及世界地圖中的朝鮮、蒙古、日本、南亞、西亞、南歐、西歐、北歐、中歐、美國、墨西哥及西印度群島等均用這種投影。我國新編的1:100萬地圖,以及航空圖、?。▍^(qū))圖等均采用了等角圓錐投影。由于其投影常數(shù)的不同,故其平面坐標(biāo)系也不一致,這種差別都可歸結(jié)為投影參數(shù)、的不同[1]。參數(shù)、的不同可以看作是投影帶不同,不同投影帶的同一地區(qū)的地圖資料是難以拼接的。為了利用不同帶的地圖資料,并為統(tǒng)一不同平面坐標(biāo)系的點位信息,這就需要進(jìn)行

5、不同帶等角圓錐投影的坐標(biāo)變換。實現(xiàn)不同帶等角圓錐投影坐標(biāo)變換的方法之一是根據(jù)在舊帶中點的平面直角坐標(biāo)反解出地理坐標(biāo),再計算求出該點在新帶中的平面直角坐標(biāo),即圓錐雄影的反解變換方法[2];方法之二是直接推求由舊帶平面直角坐標(biāo)變換到新帶平面直角坐標(biāo)的關(guān)系式,即圓錐投影間的正解變換公式。下面介紹一種利用墨卡托坐標(biāo)作中間變量,推求出的一組等角圓錐投影不同帶間的正解變換公式。一、等角圓錐投影間的正解變換公式墨卡托投影的坐標(biāo)公式為(1)式中,是割緯線半徑,e是第一偏心率。等角圓錐投影的坐標(biāo)公式為:(2)式中:

6、為投影常數(shù)。墨卡托投影到等角圓錐投影的正解變換公式為:(3)式中:。而又等角圓錐投影到墨卡托投影的正解變換公式為(4)式中:設(shè)等角圓錐投影舊帶之中中央經(jīng)線經(jīng)度為,投影常數(shù)為、C、;而新帶分別為、、、。下面利用墨卡托坐標(biāo)作中間變量來推求等角圓錐投影由舊帶到新帶的坐標(biāo)變換公式。第一步,將舊帶之等角圓錐投影坐標(biāo)(x,y)變換為墨卡托投影坐標(biāo),由(4)式有,(5)式中:第二步,變換墨卡托投影坐標(biāo)基準(zhǔn)點(6)式中:、以弧度計。第三步,再由墨卡托坐標(biāo)變換為新帶等角投影坐標(biāo)(X、Y),由(3)式有(7)式中:最

7、后將(5)、(6)式代入(7)式,經(jīng)簡單整理后得到等角圓錐投影間正解變換公式,如下:,(8)式中:,,,下面便舉一例子利用公式來變換計算:已知舊帶等角圓錐投影之坐標(biāo)為x=290.136cm,y=114.915cm.其投影常數(shù)為=0.4719381,C=3009.818cm,=2613.462;而新帶等角圓錐投影常數(shù)為=0.44636409,=3163.6409cm,=2750cm。求新帶等角圓錐投影坐標(biāo)X、Y。按(8)式計算結(jié)果為X=273.2512cm,Y=1158496cm。上述算例結(jié)果表明,

8、只要知道兩等角投影之常數(shù)、C、,則可按(8)式直接進(jìn)行兩等角圓錐投影間點位坐標(biāo)的變換。變換公式(8)是嚴(yán)密公式,它不受制圖區(qū)域大小的影響。地圖上點位坐標(biāo)的變換不僅是地圖制圖中經(jīng)常遇到的一個實際問題,而且隨著計算機(jī)技術(shù)日益運用于各部門,地圖上點位信息的獲取、儲存和變換已成為地學(xué)各領(lǐng)域經(jīng)常遇到的一個實際問題。因此研究不同投影地圖上點位變換的具體公式,供地學(xué)各部門實際應(yīng)用時參考選用,是很有必要的,很多實際問題都需要利用這些方法來解求。

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