數(shù)列和函數(shù)極限的概念

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1、E-mail:jndzcw@163.comTel:13864169003濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院主講教師張長(zhǎng)溫微積分引言（一）上大學(xué)學(xué)什么？（清華大學(xué)老師）珍惜時(shí)光三個(gè)方面做人之道,治學(xué)之方,健身之術(shù)學(xué)會(huì)向書(shū)本、老師、周?chē)鷮W(xué)學(xué)會(huì)自學(xué)嘗試研究性的學(xué)習(xí)方法：提出問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題注重持續(xù)性學(xué)習(xí)：有計(jì)劃地安排學(xué)習(xí)（二）學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什麼？數(shù)學(xué)的基本特征抽象性演繹性廣泛性（研究對(duì)象）（論證方法）（應(yīng)用）假設(shè)結(jié)論logic理性思維微積分基本內(nèi)容簡(jiǎn)介微積分微分極限積分—一元函數(shù)極限，二元函數(shù)極限—一元函數(shù)積分，二元函數(shù)積分連續(xù)

2、導(dǎo)數(shù)—一元函數(shù)連續(xù)，二元函數(shù)連續(xù)—一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)，二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)級(jí)數(shù)，微分方程推薦參考書(shū)：同濟(jì)大學(xué)編《高等數(shù)學(xué)》（第六版）（上、下）高等教育出版社幾個(gè)新概念第一章函數(shù)1集合的笛卡爾乘積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集.定義設(shè)有數(shù)集A與B.對(duì)任意的所有二元有序數(shù)組(x,y)所構(gòu)成的集合,稱(chēng)為集合A與B的笛卡爾乘積，即2鄰域的概念數(shù)集鄰域，點(diǎn)x0的左?鄰域:點(diǎn)x0的右?鄰域:3函數(shù)的有界性使稱(chēng)為D上的有界定義設(shè)函數(shù)f(x)定義在集合D上，如果對(duì)于函數(shù).否則，稱(chēng)函數(shù)f(x)在集合D上無(wú)界.說(shuō)明:還可定義函數(shù)f(x)在集合D

3、上有上界、有下界若函數(shù)f(x)在集合D上是有界函數(shù)，也稱(chēng)函數(shù)f(x)在集合D上是有界的例如函數(shù)sinx,cosx在其定義域內(nèi)有界.函數(shù)y=x在其定義域內(nèi)無(wú)界.如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)M，對(duì)每一個(gè)都有則稱(chēng)函數(shù)f(x)在集合D上有上界.如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)N，對(duì)每一個(gè)都有則稱(chēng)函數(shù)f(x)在集合D上有下界.如果函數(shù)f(x)在集合D上即有上界又有下界，則f(x)在集合D上有界.無(wú)界函數(shù)的定義如果對(duì)任意的正實(shí)數(shù)M，總存在使得例如函數(shù)但是，4反函數(shù)在函數(shù)定義中，要求函數(shù)是單值的，即如果則在定義域D與值域f(D)之間就有如下關(guān)系：這是

4、一個(gè)由f(D)到D之間的新的對(duì)應(yīng)關(guān)系：稱(chēng)為函數(shù)的反函數(shù)，記作由定義可以知道：反函數(shù)的定義域是函數(shù)f的值域f(D)；函數(shù)的值域是函數(shù)f的定義域D.例如函數(shù)由于嚴(yán)格單調(diào)，有反函數(shù).再例如函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，有反函數(shù).習(xí)慣上,記5隱函數(shù)因變量y是自變量x的函數(shù)，但y不能用x的一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái).這樣的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù).隱函數(shù)一般由方程F(x,y)=0確定.也就是已知y是x的函數(shù)，且y和x的關(guān)系滿(mǎn)足方程F(x,y)=0.數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái).這樣的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù).因變量y是自變量x的函數(shù)，且y能用x的一個(gè)例如y是x的函數(shù)且

5、y和x的關(guān)系由方程確定的函數(shù).6初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù).常數(shù)、(2)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)否則稱(chēng)為非初等函數(shù).例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱(chēng)為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).非初等函數(shù)舉例符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)注意：二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的內(nèi)容：第二章極限與連續(xù)1）極限內(nèi)容：數(shù)列的極限、函數(shù)的極限.一、數(shù)列（無(wú)窮數(shù)列）的極限的定義首先看下面幾個(gè)例子：例如,趨勢(shì)不定

6、收斂發(fā)散數(shù)列極限的描述性定義：定義對(duì)于數(shù)列　，如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，時(shí)，數(shù)列則稱(chēng)當(dāng)n趨于無(wú)窮大以A為極限，記作亦稱(chēng)數(shù)列收斂于Ａ；是發(fā)散的．如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱(chēng)數(shù)列極限就是當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的變化趨勢(shì).趨于一個(gè)常數(shù)A的含義：與常數(shù)A“無(wú)限接近”.數(shù)列極限的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義（定義）定義如果對(duì)于任意給定的正數(shù)總存在一個(gè)正整數(shù)N（或者），恒成立，的極限為則稱(chēng)當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列A,記作亦稱(chēng)數(shù)列收斂于Ａ；是發(fā)散的．如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱(chēng)當(dāng)n>N時(shí),總有即幾何解釋:例1.設(shè)證明等比數(shù)列的極限為

7、0.即（常用結(jié)論.記?。。┳⒁猓憾?、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.收斂數(shù)列的極限唯一.2.收斂數(shù)列一定有界.即如果則一定存在一個(gè)正數(shù)使得對(duì)所有的n，成立.3.收斂數(shù)列的局部保號(hào)性.即如果則一定存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)C為常數(shù).三、極限存在準(zhǔn)則1.兩邊夾法則;2.單調(diào)有界法則.1.兩邊夾法則(準(zhǔn)則1)例.證明證:利用兩邊夾法則.由后面可以知道，2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限(準(zhǔn)則2).即單調(diào)增有上界，或者單調(diào)減有下界的數(shù)列一定收斂.二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量變化過(guò)程的六種形式:一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容

8、:函數(shù)的極限一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限例考慮函數(shù)，當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí)的變化趨勢(shì).容易看出：當(dāng)x趨于無(wú)限增大或無(wú)限減小時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近0.事實(shí)上，0就是當(dāng)x趨于無(wú)限增大或無(wú)限減小時(shí)，函數(shù)的極限.自變量趨于無(wú)窮時(shí)函數(shù)極限的直觀定義定義對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)自變量x趨于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x)和某常數(shù)A無(wú)限接近，則稱(chēng)函數(shù)f(x)以常數(shù)A為極限，記做兩種特殊情況:簡(jiǎn)單的常用結(jié)論二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極