函數(shù)周期性專題

函數(shù)周期性專題

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1、(_)[応識統(tǒng)謖】,?1.周期函數(shù)的定義:對于/(兀)定義域內(nèi)的每一個X,都存在非零常數(shù)T,使得/(x+T)=/(x)恒成立,則稱函數(shù)/(兀)具有周期性,T叫做/(兀)的一個周期,則M(keZ.k^O)也是/⑴的周期,所有周期中的最小正數(shù)叫/(兀)的最小正周期.2?幾種特殊的抽象函數(shù):具有周期性的抽象函數(shù):函數(shù)y=f(x)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)兀(其中d為常數(shù)),1)/(%)=/(x+tz),則y=/(x)是以T=a為周期的周期函數(shù);2)/(x+q)=-/(x),則是以T=2a為周期的周期函數(shù);3)/(%+6z

2、)=^—(^^0),則/(兀)是以T=2a為周期的周期函數(shù);Jx)4)若函數(shù)?)是偶函數(shù),冃/(x+d)=/(d-兀),則/(x)是以T=2a為周期的周期函數(shù);5)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且/(x+q)=/(q-x),則/&)是以T=4a為周期的周期函數(shù);3.對稱性:(1)函數(shù)關(guān)于原點對稱即奇函數(shù):f(-x)=-/(x)(2)函數(shù)關(guān)于y對稱即偶函數(shù):/(-%)=/(%)(3)函數(shù)關(guān)于直線兀=。對稱:f(x+a)=f(a-x)(二)典例今新;例1.(安徽卷)函數(shù)/⑴對于任意實數(shù)兀滿足條件/(%+2)=-1-,若

3、/(1)=-5,則fx)/(?幾5))=⑵已知定義在/?上的奇函數(shù)/(x)滿足/(%+2)=-/(%),則/⑹的值為例2:設(shè).f(x)是定義在/?上以6為周期的函數(shù),.廣⑴在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減,且y=/(x)的圖像關(guān)于直線兀=3對稱,則下面正確的結(jié)論是A/(1.5)

4、為/(x)例4.已知/(兀)是定義在實數(shù)集/?上的函數(shù),滿足/U+2)=-/(%),且x6[0,2]時,f(x)=2x-x2.(1)求兀引-2,0]時,/⑴的表達(dá)式;(2)證明/(兀)是/?上的奇函數(shù).例5./(%)是定義域在R上的奇函數(shù),且其圖像關(guān)于直線x=^對稱,則/⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)=—f+兀(x<0)例6已知/(力=.則/(-20⑹+/(-20⑸+/(-20⑷+???+/(2015)+/(2016卜-x2+x(x>0)三,【觀國提爲(wèi)】1.設(shè)函數(shù)/(x)(xe/?)是以3為周期的奇

5、函數(shù),且/(l)>l,/(2)=tz,則()A.a>2B.a<_2C.a>lD?a<-12.(2006山東)己知定義在R上的奇函數(shù)/U)滿足/t"刃二一/U),則,(10)的值為()A.-1B.0C.1D.23.函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù),又是以2為周期的周期函數(shù)?若fg在[一1,0]上是減函數(shù),那么f(力在[2,3]上是()A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減的函數(shù)D.先減后增的函4.已知定義在R上的函數(shù)/(兀)是偶函數(shù),對兀wR都

6、A.2B?4C.-2D.-45.若已知/(*)是/?上的奇函數(shù),且滿足/(x+4)=/(%),當(dāng)xe(0,2)時,f(x)=2x2,則/⑺等于A.-2B.2C.-98D.986.已知定義在/?上的函數(shù)/(兀)滿足/(%)=-/兀+專,且/(-2)=3,則/(2014)=乙)7?設(shè)偶函數(shù)/(兀)對任意xeR,都有f(x+3)=,且當(dāng)兀可-3,-2]時,/⑴/(x)=2x,則/(113.5)=D.8.已知/(x)是定義在/?上的奇函數(shù),滿足/(%+2)=-/(%),且xe[0,2]時,f(x)=2x-x2.(1)求

7、證:/(兀)是周期函數(shù);⑵當(dāng)xe[2,4]時,求/(兀)的表達(dá)式;(3)計算/(I)+/(2)+/⑶+…+/(2013)?四,【裸后條習(xí)】1、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)二一f(x),則f(6)的值為()A.—1B?0C?1D?222、設(shè)/(x)定義域為R,且對任意實數(shù)x,/(x+3)=恒成立,/(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞/O)減,11該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x二3對稱,則下面正確的結(jié)論是()A、/(1.5)

8、)2B.a<-2C.a>1D.a<-l4、定義域在/?的函數(shù)/(兀)既是的偶函數(shù),又關(guān)于兀=1對稱,若/(兀)在上是減函數(shù),那么/(X)在[2,3]上是()A.增函數(shù)減函數(shù)C.先增后減函數(shù)D先減后增函數(shù)5、/(兀)

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