函數周期性專題

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1、(_)［応識統(tǒng)謖】,?1.周期函數的定義：對于/(兀)定義域內的每一個X,都存在非零常數T,使得/(x+T)=/(x)恒成立，則稱函數/(兀)具有周期性，T叫做/(兀)的一個周期，則M(keZ.k^O)也是/⑴的周期,所有周期中的最小正數叫/(兀)的最小正周期.2?幾種特殊的抽象函數：具有周期性的抽象函數：函數y=f(x)滿足對定義域內任一實數兀(其中d為常數)，1)/(%)=/(x+tz),則y=/(x)是以T=a為周期的周期函數；2)/(x+q)=-/(x),則是以T=2a為周期的周期函數；3)/(%+6z

2、)=^—(^^0),則/(兀)是以T=2a為周期的周期函數;Jx)4)若函數?)是偶函數，冃/(x+d)=/(d-兀)，則/(x)是以T=2a為周期的周期函數;5)若函數f(x)是奇函數，且/(x+q)=/(q-x),則/&)是以T=4a為周期的周期函數;3.對稱性：(1)函數關于原點對稱即奇函數:f(-x)=-/(x)(2)函數關于y對稱即偶函數：/(-%)=/(%)(3)函數關于直線兀=。對稱：f(x+a)=f(a-x)(二)典例今新;例1.(安徽卷)函數/⑴對于任意實數兀滿足條件/(%+2)=-1-,若

3、/(1)=-5,則fx)/(?幾5))=⑵已知定義在/?上的奇函數/(x)滿足/(%+2)=-/(%),則/⑹的值為例2：設.f(x)是定義在/?上以6為周期的函數，.廣⑴在(0,3)內單調遞減,且y=/(x)的圖像關于直線兀=3對稱,則下面正確的結論是A/(1.5)

4、為/(x)例4.已知/(兀)是定義在實數集/?上的函數，滿足/U+2)=-/(%),且x6［0,2］時,f(x)=2x-x2.(1)求兀引-2,0］時，/⑴的表達式；(2)證明/(兀)是/?上的奇函數.例5./(%)是定義域在R上的奇函數，且其圖像關于直線x=^對稱,則/⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)=—f+兀(x<0)例6已知/(力=.則/(-20⑹+/(-20⑸+/(-20⑷+???+/(2015)+/(2016卜-x2+x(x>0)三，【觀國提爲】1.設函數/(x)(xe/?)是以3為周期的奇

5、函數，且/(l)>l,/(2)=tz,則()A.a>2B.a<_2C.a>lD?a<-12.(2006山東)己知定義在R上的奇函數/U)滿足/t"刃二一/U),則,(10)的值為()A.-1B.0C.1D.23.函數f(x)是定義域為R的偶函數，又是以2為周期的周期函數?若fg在［一1,0］上是減函數，那么f(力在［2,3］上是()A.增函數B.減函數C.先增后減的函數D.先減后增的函4.已知定義在R上的函數/(兀)是偶函數，對兀wR都

6、A.2B?4C.-2D.-45.若已知/(*)是/?上的奇函數，且滿足/(x+4)=/(%),當xe(0,2)時，f(x)=2x2,則/⑺等于A.-2B.2C.-98D.986.已知定義在/?上的函數/(兀)滿足/(%)=-/兀+專，且/(-2)=3,則/(2014)=乙)7?設偶函數/(兀)對任意xeR,都有f(x+3)=，且當?？?3,-2］時,/⑴/(x)=2x,則/(113.5)=D.8.已知/(x)是定義在/?上的奇函數，滿足/(%+2)=-/(%)，且xe［0,2］時,f(x)=2x-x2.(1)求

7、證：/(兀)是周期函數；⑵當xe［2,4］時，求/(兀)的表達式；(3)計算/(I)+/(2)+/⑶+…+/(2013)?四，【裸后條習】1、已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)二一f(x),則f(6)的值為()A.—1B?0C?1D?222、設/(x)定義域為R,且對任意實數x,/(x+3)=恒成立，/(x)在(0,3)內單調遞/O)減，11該函數的圖象關于直線x二3對稱，則下面正確的結論是()A、/(1.5)

8、)2B.a<-2C.a>1D.a<-l4、定義域在/?的函數/(兀)既是的偶函數，又關于兀=1對稱，若/(兀)在上是減函數，那么/(X)在［2,3］上是()A.增函數減函數C.先增后減函數D先減后增函數5、/(兀)