信號(hào)與線性系統(tǒng)

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1、第2章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)2.2奇異函數(shù)2.3沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.4卷積積分2.1線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)2.1.1系統(tǒng)的描述描述線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)微分方程。對(duì)于電系統(tǒng)，列寫(xiě)數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面。1.元件約束VAR在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下：(1)電阻R，uR(t)=R·iR(t)；(2)電感L，(3)電容C，(4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。2.結(jié)構(gòu)約束KCL與KVL下面舉例說(shuō)明。例2―1圖2.1所示電路，輸入激勵(lì)是電流源iS(t),試列出電流iL(t)及R1上電壓

2、u1(t)為輸出響應(yīng)變量的方程式。圖2.1例2―1圖解由KVL，列出電壓方程對(duì)上式求導(dǎo)，考慮到（2-1）根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))(2―2)整理上式后，可得(2―3)例2―2圖2.2所示電路，試分別列出電流i1(t)、電流i2(t)和電壓uO(t)的數(shù)學(xué)模型。解解此聯(lián)立方程，最后求得(2―4)(2―5)(2―6)圖2.2例2―2圖從上面兩例可得到兩點(diǎn)結(jié)論：(1)解得的數(shù)學(xué)模型，即求得的微分方程的階數(shù)與動(dòng)態(tài)電路的階數(shù)(即獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù))是一致的。(2)輸出響應(yīng)無(wú)論是iL(t

3、)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)，還是其它別的變量，它們的齊次方程都相同。這表明，同一系統(tǒng)當(dāng)它的元件參數(shù)確定不變時(shí)，它的自由頻率是唯一的。2.1.2微分方程的經(jīng)典解我們將上面兩個(gè)例子推廣到一般，如果單輸入、單輸出線性非時(shí)變的激勵(lì)為f(t)，其全響應(yīng)為y(t)，則描述線性非時(shí)變系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)與響應(yīng)y(t)之間關(guān)系的是n階常系數(shù)線性微分方程，它可寫(xiě)為y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)(2―7)式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-

4、1，…，b1，b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解，用yh(t)表示。非齊次方程的特解用yp(t)表示。即有y(t)=yh(t)+yp(t)(2―8)1.齊次解齊次解滿足齊次微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0(2―9)由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0(2―10)(1)特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同(即無(wú)重根)，則微分方程的齊次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ

5、，而其余(n-γ)個(gè)根λγ+1，λγ+2，…，λn都是單根，則微分方程的齊次解(2―11)(2―12)(3)特征根有一對(duì)單復(fù)根。即λ1,　2=a±jb，則微分方程的齊次解yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt(2―13)(4)特征根有一對(duì)m重復(fù)根。即共有m重λ1,2=a±jb的復(fù)根，則微分方程的齊次解(2―14)例2―3求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齊次解。解由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1，λ2=-2。因此該方程的齊次解yh(t)=c1e-t+c2e-2t例2―4求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=

6、f(t)的齊次解。解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2=-1，因此該方程的齊次解yh(t)=c1e-t+c2te-t例2―5求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齊次解。解由特征方程λ2+1=0解得特征根是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)λ1,2=±j，因此，該方程的齊次解yh(t)=c1cost+c2sint2.特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。表2―1列出了幾種類型的激勵(lì)函數(shù)f(t)及其所對(duì)應(yīng)的特征解yp(t)。選定特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù)Pi，就可得出特解。表2―1激勵(lì)函數(shù)及所對(duì)應(yīng)的解例2―6若輸入激勵(lì)f(t)=e-t，試求微分方程y″

7、(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。解查表2―1，因?yàn)閒(t)=e-t，α=-1與一個(gè)特征根λ1=-1相同，因此該方程的特解將特解yp(t)代入微分方程，有3.完全解根據(jù)式(2―8)，完全解是齊次解與特解之和，如果微分方程的特征根全為單根，則微分方程的全解為(2―15)當(dāng)特征根中λ1為γ重根，而其余(n-γ)個(gè)根均為單根時(shí)，方程的全解為(2―16)如果微分方程的特征根都是單根，則方程的完全解為式(2―15)，將給定的初始條件分別代入到式(