趣味數學講座[1]1

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時間:2019-10-14

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1、趣味數學講座主講人:趙國釗《晏子春秋》里有一個“二桃殺三士”的故事,大意是:齊景公養(yǎng)著三名勇士,他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。 這三名勇士都力大無比,武功超群,為齊景公立下過不少功勞。但他們也剛愎自用,目中無人,得罪了齊國的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們,并獻上一計:以齊景公的名義賞賜三名勇士兩個桃子,讓他們自己評功,按功勞的大小吃桃。三名勇士都認為自己的功勞很大,應該單獨吃一個桃子。于是公孫接講了自己的打虎功,拿了一只桃;田開疆講了自己的殺敵功,拿起了另一桃。兩人正準備要吃桃子——古冶子說出了自己更大的功勞。公孫接、田開疆

2、都覺得自己的功勞確實不如古冶子大,感到羞愧難當,趕忙讓出桃子。并且覺得自己功勞不如人家,卻搶著要吃桃子,實在丟人,是好漢就沒有臉再活下去,于是都拔劍自刎了。古冶子見了,后悔不迭。仰天長嘆道:如果放棄桃子而隱瞞功勞,則有失勇士尊嚴;為了維護自己而羞辱同伴,又有損哥們義氣。如今兩個伙伴都為此而死了,我獨自活著,算什么勇士!說罷,也拔劍自殺了。晏子采用借“桃”殺人的辦法,不費吹灰之力,便達到了他預定的目的,可說是善于運用權謀。漢朝有人在一首詩中曾不無諷刺地寫道:“……一朝被讒言,二桃殺三士。誰能為此謀,相國務晏子!”在晏子的權謀之中,

3、包含了一個重要的數學原理——抽屜原理。抽屜原理把n+1個物體放到n個抽屜中,那么至少有一個抽屜里有不止一個這種物體。什么叫做抽屜原理?東西多,抽屜少,那么至少有兩個東西放在一個抽屜里。如:有6個蘋果,要放入5個抽屜中,那么至少有一個抽屜里面會放2個蘋果。至少抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理,它是德國數學家狄利克雷(Dirichlet,PeterGustavLejeune,1805~1859)首先明確的提出來并用以證明一些數論中的問題,因此,也稱為狄利克雷原則。它是組合數學中一個重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現形式。形式一

4、:設把n+1個元素分為n個集合A1,A2,…,An,用a1,a2,…,an表示這n個集合里相應的元素個數,證明至少存在某個ai大于或等于2.(用反證法)假設結論不成立,即對每一個ai都有ai<2,則因為ai是整數,應有ai≤1,于是有:a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n<n+1這與題設矛盾。所以,至少有一個ai≥2,即必有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素。形式二:設把n·m+1個元素分為n個集合A1,A2,…,An,用a1,a2,…,an表示這n個集合里相應的元素個數,證明至少存在某個ai大于或等于m+1。(用反證法)假

5、設結論不成立,即對每一個ai都有ai<m+1,因為ai是整數,所以ai≤m,于是有:a1+a2+…+an≤m+m+…+m=n·m<n·m+1n個m這與題設相矛盾。所以,至少有存在一個ai≥m+1.1947年,匈牙利數學家把這一原理引進到中學生數學競賽中,當年匈牙利全國數學競賽有一道這樣的試題:“證明:任何六個人中,一定可以找到三個互相認識的人,或者三個互不認識的人。”如果B、C、D三人互不認識,那么我們就找到了三個互不認識的人;如果B、C、D三人中有兩個互相認識,例如B與C認識,那么,A、B、C就是三個互相認識的人。不管哪種情況

6、,本題的結論都是成立的。用A、B、C、D、E、F代表六個人,從中隨便找一個,例如A吧,把其余五個人放到“與A認識”和“與A不認識”兩個“抽屜”里去,根據抽屜原理,至少有一個抽屜里有三個人。不妨假定在“與A認識”的抽屜里有三個人,他們是B、C、D。幼兒園買來不少熊、馬、狗塑料玩具,每個小朋友任意選擇兩件,那么至少要有幾個小朋友才能保證有兩人選的玩具相同?6種可能出現的選擇方式就是6個“抽屜”“蘋果”是小朋友把135塊餅干分給16個小朋友,如果每個小朋友至少要分到1塊餅干,那么不管怎樣分,一定會有2個小朋友得到的餅干數目相同。為什么

7、?要使16個小朋友個到的餅干數各不相同至少需要1+2+3+…+15+16=這與只有135塊餅干矛盾.所以一定有2個小朋友得到的餅干數目相同.練習:六甲班共有學生42人,從學校圖書室借來212本書,是否有人能至少借到6本或6本以上的圖書?假設無人借6本或6本以上的圖書,則全班至多借書5×42=210(本).但全班共借來212本,所以要么至少有兩人借6本,要么至少有1人借7本.練習:1.有黑色、白色、黃色的筷子各8根,混雜在一起,黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子,問至少要取多少根才能保證達到要求?最多取出8根只有一種顏色的

8、筷子,再取任意3根即可保證達到要求。所以至少要取11根.練習:2.在1只箱子里面放著紅、黑、白三種顏色的手套各6副,如想閉著眼睛從中取出兩副顏色不同的手套,問至少要取出多少只才能達到要求?12+12+1=25至少取出15只手套才能達到要求.3.在23×23的方格

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