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《2018-2019版高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案新人教A版選修2 》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.掌握方差的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法，會(huì)利用公式求它們的方差．知識(shí)點(diǎn)一 方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì)甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X和Y，X和Y的分布列如下：X012PY012P思考1 試求E(X)，E(Y)．答案 E(X)＝0×＋1×＋2×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.思考2 能否由E(X)與E
2、(Y)的值比較兩名工人技術(shù)水平的高低？答案 不能，因?yàn)镋(X)＝E(Y)．思考3 試想用什么指標(biāo)衡量甲、乙兩名工人技術(shù)水平的高低？答案 方差．梳理 (1)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①方差：D(X)＝(xi－E(X))2pi；②標(biāo)準(zhǔn)差：.(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越?。?3)方差的性質(zhì)：D(aX＋b)＝a2D(X)．知識(shí)點(diǎn)二 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布
3、的方差XX服從兩點(diǎn)分布X～B(n，p)D(X)p(1－p)(其中p為成功概率)np(1－p)1．離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定．( × )2．若a是常數(shù)，則D(a)＝0.( √ )3．離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度．( √ )類型一 求隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差例1 已知X的分布列如下：X－101Pa(1)求X2的分布列；(2)計(jì)算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn) 方差性質(zhì)的應(yīng)用解 (1)由分布列的性質(zhì)，知＋＋a＝1，故a＝，從而X2
4、的分布列為X201P(2)方法一 由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝.方法二 由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.(3)因?yàn)閅＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.反思與感悟 方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯(cuò)！在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下，運(yùn)用關(guān)系式D(X)＝E(X2
5、)－[E(X)]2不失為一種比較實(shí)用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．跟蹤訓(xùn)練1 已知η的分布列為η010205060P(1)求方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)Y＝2η－E(η)，求D(Y)．考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn) 方差性質(zhì)的應(yīng)用解 (1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，∴＝8.(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22
6、D(η)＝4×384＝1536.類型二 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差例2 為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹(shù)、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，均值E(ξ)為3，標(biāo)準(zhǔn)差為.(1)求n和p的值，并寫(xiě)出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率．考點(diǎn) 三種常用分布的方差題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的方差解 由題意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.(1)由E(ξ)＝np＝3
7、，D(ξ)＝np(1－p)＝，得1－p＝，從而n＝6，p＝.ξ的分布列為ξ0123456P(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝＋＋＋＝，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝，所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為.反思與感悟 解決此類問(wèn)題第一步是判斷隨機(jī)變量ξ服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解．若ξ服從兩點(diǎn)分布，則D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B(n，p)，則D(ξ)＝np(1－p)．跟蹤訓(xùn)練2 某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)計(jì)算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；
8、(2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差．考點(diǎn) 三種常用分布的方差題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的方差解 (1)用ξ表示抽得的正品數(shù)，則ξ＝0,1.ξ服從兩點(diǎn)分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品數(shù)，則X～B(10,0.98
