隨機(jī)激勵下非線性振動系統(tǒng)特性的定性分析

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1、航天器環(huán)境工程第27卷第4期462SPACECRAFTENVIRONMENTENGINEERING2010ff?8JJ隨機(jī)激勵下非線性振動系統(tǒng)特性的定性分析孔憲仁，廖俊，楊正賢，徐大富(哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150086)摘要：求解李雅普諾夫方程，可直接獲得平穩(wěn)隨機(jī)振動響應(yīng)協(xié)方差矩陣。用等效線性化方法處理非線性系統(tǒng)，通過多次迭代求解李雅普諾夫方程可得到穩(wěn)定的等效線性系統(tǒng)參數(shù)，從而獲得一種多自由度非線性系統(tǒng)特性定性分析方法，為實際的非線性動力學(xué)系統(tǒng)建模提供了理論依據(jù)．對幾個實例進(jìn)行了仿真分析，結(jié)果驗證了該方法的有效性．關(guān)鍵詞：隨機(jī)振動；隨機(jī)分析；等效線性化法；非線性頻響函數(shù)中圖

2、分類號：0324文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1673—1379(2010)04—0462-05DoI：10．39690．issn．1673—1379．2010．04．0120引言結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動試驗時，有時會超出線彈性范圍，此時線性模型已經(jīng)不能滿足需要，為正確地研究結(jié)構(gòu)特性，需要建立非線性模型。非線性動力學(xué)系統(tǒng)的辨識通常有3個步驟：一是識別非線性的存在；二是判別非線性的性質(zhì)；三是建立系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行參數(shù)識別。目前判別非線性的存在已經(jīng)比較成熟，主要有幅值域、頻域、時域方法【l】。定性研究包括系統(tǒng)非線性的定位、非線性類型、非線性方程幾種，本文集中研究非線性類型這部分。Feldmen研究了時域中應(yīng)

3、用Hilbea變換判別隨機(jī)激勵下系統(tǒng)非線性類型的方測2】；Stasze應(yīng)用小波變換、Franco應(yīng)用Gabor變換研究了系統(tǒng)非線性定性方法【3j；K．Worden[4]等研究了正弦激勵下非線性系統(tǒng)頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖隨外激勵量級變化而發(fā)生的變形，根據(jù)系統(tǒng)分別存在非線性阻尼和非線性剛度時變形的規(guī)律不同而由此判斷系統(tǒng)中非線性的類別，并給出了非線性定性分析的準(zhǔn)則。本文參考文獻(xiàn)[4】的準(zhǔn)則，旨在給出隨機(jī)激勵下，通過系統(tǒng)頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖隨外激勵量級的變化進(jìn)行定性分析的方法，并將系統(tǒng)擴(kuò)展到多自由度上。本文對幾種帶有非線性因素的系統(tǒng)模型進(jìn)行了近似求解，并分別畫出了它們的等效頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖

4、，得到隨機(jī)激勵下系統(tǒng)頻響函數(shù)隨外激勵量級的變化規(guī)律，從而給出了適用于隨機(jī)激勵的，通過等效頻響函數(shù)隨激勵量級變化的趨勢來判別系統(tǒng)非線性特性的方法。l解李雅普諾夫方程求隨機(jī)響應(yīng)方差對于線性時不變系統(tǒng)可以寫成方程‘2】茸=凡+％w，(1)z=C。x3式中：x。為狀態(tài)向量；w為輸入向量；z為輸出向量；彳、曰、C為響應(yīng)維數(shù)的常量矩陣；下標(biāo)s、W、z表示矩陣維數(shù)。假設(shè)輸入為白噪聲，則輸入的功率譜矩陣為對稱正定的常量矩陣眠。。狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣表示為￡(ttl)=瓦，(2)其中墨為協(xié)方差矩陣。容易證明式(2)滿足李雅普諾夫方程AssXss+xssA0+Bs∥WB。?=o，④其中∥為激勵’．’的功率

5、譜矩陣乘以2兀得到的矩陣。對彳。進(jìn)行特征值分解，則得Ass=EssA5sEs『1，t4’式中：E為特征向量構(gòu)成的矩陣：以為特征值構(gòu)收稿日期：2009．11．05：修回日期：2009．12．07基金項目：長江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊發(fā)展計劃(IRT0520)作者簡介：孔完仁(196l一)，男，教授，博士生導(dǎo)師，從事航天器航天動力學(xué)、航天器熱控等研究工作。廖俊(1982一)男，博士研究生，飛行器專業(yè)，主要從事結(jié)構(gòu)動力學(xué)、航天器結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動研究．E-mail：liaojun404@126．corn．第4期孔憲仁等：隨機(jī)激勵下非線性振動系統(tǒng)特性的定性分析463成的對角線矩陣。經(jīng)過矩陣推導(dǎo)求得李雅普諾夫方程的

6、解的矩陣形式為K=·瓦[(疋。1瓦W。。T最’)．能l+t'4’)l艮+，(5)式中：J矩陣為合適維數(shù)的矩陣元素全為1的矩陣；符號“．／”表示矩陣之間對應(yīng)元素的相乘運算。得到輸出z的均方根(RMS)值為zRMs=√diag(巳瓦乞1)／2。(6)這樣僅通過式(5)和式(6)矩陣運算即可以求得所有響應(yīng)點均方根值(或方差)。對于一般線性結(jié)構(gòu)的動力方程M。n夢n七c。nY‘。+Knnyn=fQ、)n，Q、)可令t=鼢氏=[裊雜]，％訓(xùn)。幔=謝，(8)式中：％"G。、蜀。分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；，為n乘以刀維的單位矩陣；％為元素為零的刀乘以n維矩陣。將式(8)代入式(5)、(6)即可很方

7、便地得到隨機(jī)激勵作用下響應(yīng)的方差。采用適當(dāng)C．。矩陣可以獲得響應(yīng)的位移、應(yīng)力的方差值以及yonmises屈服應(yīng)力等。令e=【L吃】，可以得到響應(yīng)位移的方差值。上述過程也可以使用模態(tài)疊加方法進(jìn)行縮減，再采用適當(dāng)?shù)腃，。將方差值從模態(tài)坐標(biāo)返回到原坐標(biāo)下。將式(7)通過模態(tài)變換到模態(tài)坐標(biāo)下[31，則得蛾+2z?！脒?砬。2‰=M。叫吒1廠(f)。，(9)其中眠腫乙腫玩。、蛾。分別為模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼比、固有頻率和模態(tài)的矩陣。經(jīng)