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1、Levy過程及其在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用復(fù)旦大學(xué)管理學(xué)院張新生二個例子MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy,2005,vol.113,no.2RafalWeronHeavytailsandelectricitypricesTheDeutscheBundesbank’s2005AnnualFallConference(Eltville,10-12November2005):概要Levy過程簡介Levy過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用Levy過程的統(tǒng)計分析Levy過程的進一步推廣Levy過程的定義：設(shè)
2、{X(t),t≥0}是一隨機過程：如果（1）X(t)具有平穩(wěn)獨立增量（2）P(X(0)=0)=1（3）X(t)具有右連左極的軌道（4）X(t)是隨機連續(xù)的,即,對任意a>0,s≥0,當(dāng)t→s有P(
3、X(t)-X(s)
4、>a)→0LevyProcesses:1930s-1940sPaulLevy(France)AlexanderKhintchine(Russia)KiyosiIto(Japan)Levy過程的三種刻畫Levy-Khintchine公式：稱為Levy三元組，ν稱為Levy測度Levy過程的三種刻畫Levy-Ito分解：X(t)=布朗運動+常數(shù)漂移+復(fù)合Poisson過程
5、+純跳鞅是一Poisson隨機測度，且與布朗運動Bt相互獨立Levy過程的三種刻畫Levy過程是Markov過程：轉(zhuǎn)移半群：T(t)f=Ef(x(t))無窮小算子：Levy過程的例子Levy-Ito分解變?yōu)椋篠ubordinator：關(guān)于時間t單調(diào)遞增的Levy過程，此時Levy三元組應(yīng)滿足：Levy過程的例子穩(wěn)定過程：Levy三元組：Levy過程的例子Gamma過程Levy三元組：過程的一維分布：Levy過程的例子正態(tài)逆Gauss過程：Levy三元組：過程的一維分布：Levy過程的例子Levy三元組t=1時，過程的一維分布：J1第一類Bessel函數(shù),Y1第二類Bessel函數(shù)雙
6、曲線的Levy運動在金融領(lǐng)域的應(yīng)用定價中的幾何Levy過程模型：資產(chǎn)價格：St滿足：Zt是Levy過程。在幾何Levy過程模型下，市場一般是一不完備的市場，等價鞅測度不唯一，如何選擇一合適的Levy過程和相應(yīng)的等價鞅測度是要研究的主要問題。具體的Levy過程(1)Stableprocess(Mandelbrot,Fama(1963))(2)Jumpdiffusionprocess(Merton(1973))(3)VarianceGammaprocess(Madan(1990))(4)GeneralizedHyperbolicprocess(Eberlein(1995)(5)CGMY
7、process(Carr-Geman-Madam-Yor(2000))(6)NormalinverseGaussianprocess(Barndorff-Nielsen)(7)Finitemomentlogstableprocess(Carr-Wu(2003))Morton模型其中：Wt標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，Nt為Poisson過程Yi獨立同分布，服從正態(tài)分布，且Wt,Nt,Yi相互獨立可供選擇的等價鞅測度(1)MinimalMartingaleMeasure(MMM)(Follmer-Schweizer(1991))(2)VarianceOptimalMartingaleMeasure(
8、VOMM)(Schweizer(1995))(3)MeanCorrectingMartingaleMeasure(MCMM)(4)EsscherMartingaleMeasure(ESMM)(Gerber-Shiu(1994),B-D-E-S(1996))(5)MinimalEntropyMartingaleMeasure(MEMM)(Miyahara(1996),Frittelli(2000))參考文獻R.Cont,P.Tankov(2003).Financialmodellingwithjumpprocesses.ChapmanandHall/CRCPress.J.M.Corc
9、uera,D.Nualart,W.Schoutens(2005).CompletionofaLevymarketbypower-jumpassets.FinanceStoch.9,109-127.E.Eberlein,J.Jacod(1997).Ontherangeofoptionsprices.FinanceStoch.1,131-140.Frittelli,M.(2000),TheMinimalEntropyMartingaleMeasuresandtheValu
