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1、探索絕對值的最值問題商丘市第十三中學李瑞玲知識準備1、∣a∣表示的意義是什么？2、∣a∣是什么數(shù)？最小是多少？3、你知道∣x+2∣表示的意義嗎？它的最小值是多少？∣a∣的意義：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離∣a∣是非負數(shù)，即∣a∣≥0，最小值是0∣x+3∣的意義：在數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示3的點的距離；最小值是0.探究一問題：當x=時，∣x－2∣－3有最小值，最小值是多少？解：∵∣x－2∣≥0∴∣x－2∣－3≥－3∵當x=2時，∣x－2∣=0∴當x=2時，∣x－2∣－3=－3因此，當x=2時，∣x－2∣－3有最小值，最小值是－3探究二當x=時，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是
2、多少？思維點撥：1、∣x－1∣表示的意義是什么？2、∣x－2∣表示的意義是什么？3、∣x－1∣+∣x－2∣表示的意義又是什么？問題解決解:設(shè)A：1，B：2，M：x則AM=∣x－1∣，BM=∣x－2∣ＡＭ＋ＢＭ＝∣x－1∣+∣x－2∣如圖，易知當點M在AB上時，ＡＭ＋ＢＭ有最小值因此，當１≤ｘ≤２時，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是１（AB=1）注：也可用分類討論的方法求∣x－1∣+∣x－2∣的最小值探究三問題：當x=時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是多少？1、那么怎樣求∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣的最小值呢？能否分為兩組呢？怎么分組呢？可分為∣x－1
3、∣+∣x－3∣和∣x－2∣兩組.有探究一和探究二可知當1≤x≤3時，∣x－1∣+∣x－3∣有最小值為2.當x=2時，∣x－2∣有最小值是0因此，當x=2時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是22、X為多少時，可以滿足兩組同時取最小值呢？X=2分組標準：存在x取值同時滿足各組.有最小值探究四問題：當x=時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是多少？同樣，我們可以分為∣x－1∣+∣x－4∣和∣x－2∣+∣x－3∣兩組當1≤x≤4時，∣x－1∣+∣x－4∣有最小值為3.當2≤x≤3時，∣x－2∣+∣x－3∣有最小值為1.二者同時取最小值的條件是2
4、≤x≤3因此，當2≤x≤3時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是4探索五問題：當x=時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣有最小值，最小值是多少？同樣，我們可以分為∣x－1∣+∣x－5∣、∣x－2∣+∣x－4∣和∣x－3∣三組當1≤x≤5時，∣x－1∣+∣x－5∣有最小值為4.當2≤x≤4時，∣x－2∣+∣x－4∣有最小值為2.當x=3時，∣x－3∣有最小值為0.三者同時取最小值的條件是x=3因此，當x=3時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣有最小值，最小值是6探索六問題：當x=時，∣x－1∣+∣x－2∣+
5、∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣+∣x－6∣有最小值，最小值是多少？同樣，我們可以分為∣x－1∣+∣x－6∣、∣x－2∣+∣x－5∣和∣x－3∣+∣x－4∣三組當1≤x≤6時，∣x－1∣+∣x－6∣有最小值為5.當2≤x≤5時，∣x－2∣+∣x－5∣有最小值為3.三者同時取最小值的條件是3≤x≤4因此，當3≤x≤4時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣+∣x－6∣有最小值，最小值是8當3≤x≤4時，∣x－3∣+∣x－4∣有最小值為1.由上述幾個探究你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?每個探索的規(guī)律一樣嗎？探索與發(fā)現(xiàn)規(guī)律問題：當x=時，∣x－a1∣+∣x－a2∣+∣x－a3∣+.
6、..+∣x－an-1∣+∣x－an∣有最小值？已知a1≤a2≤a3≤a4≤...≤an-1≤an猜想：當x=時，原式有最小值.⑴當n為奇數(shù)時⑵當n為偶數(shù)時當時，原式有最小值.拓展延伸一問題：當x=時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+...+∣x－2012∣有最小值，最小值是多少？當1006≤x≤1007時，原式有最小值.（1007-1006）+（1008-1005）+（1009-1004）+...+（2012-1）它的最小值=1+3+5+7+...+2011=10062拓展延伸二問題：當x=時，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+...+∣x－2012∣+∣x－2013∣有最小值，
7、最小值是多少？當x=1007時，原式有最小值.它的最小值（1007-1007）+（1008-1006）+1009-1005）+...+（2013-1）=0+2+4+6+8+...+2012=1006×1007
