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1、第3章集合3.1集合的概念與表示法3.2集合的運算與性質3.3集合的劃分與覆蓋3.4排列與組合3.5歸納原理3.6容斥原理和抽屜原理3.7遞推關系3.8集合論在命題邏輯中的應用9/8/20213.1集合的概念與表示法3.1.1集合的概念集合作為數(shù)學的一個基本而又簡單的原始概念，是不能精確定義的。一般我們把一些確定的互不相同的對象的全體稱為集合，集合中的對象稱為集合的元素。通常用大寫字母(如A、B等)表示集合，用小寫字母(如a、b)表示集合中的元素。給定一個集合A和一個元素a，可以判定a是否在集合A中。如果a在A中，我們稱a屬于A，記為a∈
2、A。否則，稱a不屬于A，記為a?A。例如，某大學計算機系的全體學生、所有自然數(shù)等都是集合。9/8/2021由集合的概念可知，集合中的元素具有確定性、互異性、無序性和抽象性的特征。其中：(1)確定性是指：一旦給定了集合A，對于任意元素a，我們就可以準確地判定a是否在A中，這是明確的。(2)互異性是指：集合中的元素之間是彼此不同的。即集合{a，b，b，c}與集合{a，b，c}是一樣的。(3)無序性是指：集合中的元素之間沒有次序關系。即集合{a，b，c}與集合{c，b，a}是一樣的。(4)抽象性是指：集合中的元素是抽象的，甚至可以是集合。如A＝
3、{1，2，{1，2}}，其中{1，2}是集合A的元素。9/8/2021集合是多種多樣的，我們可以根據(jù)集合中元素的個數(shù)對其進行分類。集合中元素的個數(shù)稱為集合的基數(shù)，記為
4、A
5、。當
6、A
7、有限時，稱A為有限集合；否則，稱A為無限集合。下面將本書中常用的集合符號列舉如下：N：表示全體自然數(shù)組成的集合。Z：表示全體整數(shù)組成的集合。Q：表示全體有理數(shù)組成的集合。R：表示全體實數(shù)組成的集合。Zm：表示模m同余關系所有剩余類組成的集合。9/8/20213.1.2集合的表示法表示一個集合通常有兩種方法：列舉法和謂詞表示法。1.列舉法(或枚舉法)列舉法就是將
8、集合的元素全部寫在花括號內，元素之間用逗號分開。例如：A＝{a，b，c}，B＝{0，1，2，3，…}。列舉法一般用于有限集合和有規(guī)律的無限集合。2.謂詞表示法(或描述法)謂詞表示法是用謂詞來概括集合中元素的屬性。通常用{x
9、p(x)}來表示具有性質p的一些對象組成的集合。例如：{x
10、1≤x≤6∧x為整數(shù)}為由1、2、3、4、5、6組成的集合。下面討論集合之間的關系。9/8/20213.1.3集合的包含與相等包含與相等是集合間的兩種基本關系，也是集合論中的兩個基本概念。兩個集合相等是按照下述原理定義的。外延性原理兩個集合A和B是相等的，當且
11、僅當它們有相同的元素。記為A＝B。例如，若A＝{2，3}，B＝{小于4的素數(shù)}，則A＝B。定義3.1設A和B為兩個集合，若對于任意的a∈A必有a∈B，則稱A是B的子集，也稱A包含于B或B包含A，記作A?B。如果B不包含A，記作AB。B包含A的符號化表示為：A?B??x(x∈A→x∈B)。例如，若A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，則B?A且C?A，但CB。9/8/2021定理3.1集合A和B相等當且僅當這兩個集合互為子集。即：A＝B?A?B∧B?A。證明若A＝B，則A和B具有相同的元素，于是?x(x∈A→x∈B)、?x
12、(x∈B→x∈A)都為真，即A?B且B?A。反之，若A?B且B?A，假設A≠B，則A與B元素不完全相同。不妨設有某個元素x∈A但x?B，這與A?B矛盾，所以A＝B。這個定理非常重要，是證明兩個集合相等的基本思路和依據(jù)。9/8/2021定理3.2設A、B和C是三個集合，則：(1)A?A。(2)A?B∧B?C?A?C。證明(1)由定義顯然成立。(2)A?B∧B?C??x(x∈A→x∈B)∧?x(x∈B→x∈C)??x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C))??x(x∈A→x∈C)?A?C。定義3.2設A和B是兩個集合，若A?B且B中至少有一
13、個元素b使得b?A，則稱A是B的真子集，也稱A真包含于B或B真包含A，記作A?B。否則，記作A?B。B真包含A的符號化表示：9/8/2021A?B??x(x∈A→x∈B)∧?x(x∈B∧x?A)。若兩個集合A和B沒有公共元素，我們說A和B是不相交的。例如，若A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c}，則B是A的真子集，但A不是A的真子集。需要指出的是，∈與?表示元素和集合的關系，而?、?與＝表示集合和集合的關系。例如，若A＝{0，1}，B＝{0，1，{0，1}}，則A?B且A?B。定理3.3設A、B和C是三個集合，則(1)?(A?A)。(2)
14、A?B??(B?A)。(3)A?B∧B?C?A?C。9/8/2021證明僅證(2)和(3)(2)A?B??x(x∈A→x∈B)∧?x(x∈B∧x?A)??x(x?A∨x∈B)∧?x(x∈B∧x
