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1、§5?2參數(shù)的最大似然估計與矩估計一、最大似然估計二、矩估計一、最大似然估計1?最大似然法的基本思想在已經(jīng)得到試驗結(jié)果的情況下?我們應(yīng)該尋找使這個結(jié)果出現(xiàn)的可能性最大的那個?作為真?的估計?一、最大似然估計1?最大似然法的基本思想若X為離散型隨機變量?其概率分布的形式為P{X?x}?p(x??)?則樣本(X1?????Xn)的概率分布稱為似然函數(shù)?設(shè)(X1?????Xn)為來自總體X的樣本?X的分布類型已知?但參數(shù)?未知???Θ?似然函數(shù)L(?)的值表示(X1?????Xn)取值(x1?????xn)的可能性的大小?一、最大似然
2、估計1?最大似然法的基本思想設(shè)(X1?????Xn)為來自總體X的樣本?X的分布類型已知?但參數(shù)?未知???Θ?若已經(jīng)得到了樣本值(x1?????xn)?那該樣本值出現(xiàn)的可能性應(yīng)該是大的?因而我們選擇使L(?)達到最大值的那個?作為真?的估計?稱為似然函數(shù)?若X為連續(xù)型隨機變量?其密度函數(shù)為f(x??)?則樣本(X1?????Xn)的密度函數(shù)定義5?4(最大似然估計)若對任意給定的樣本值(x1?????xn)?存在?*??*(x1?????xn)?使則稱?*(x1?????xn)為?的最大似然估計值?稱相應(yīng)的統(tǒng)計量?*(X1??
3、???Xn)為?的最大似然估計量?它們統(tǒng)稱為?的最大似然估計?可簡記為MLE?2?最大似然估計的一般求法當似然函數(shù)關(guān)于未知參數(shù)可微時?一般可通過求導數(shù)得到MLE?其主要步驟是?(1)寫出似然函數(shù)(?1??????r)?(3)判斷駐點為最大值點?(4)求得各參數(shù)的MLE?說明?按照本課程的要求?當似然函數(shù)的駐點惟一時?不必驗證該駐點是否為最大值點?可直接把駐點作為所求參數(shù)的最大似然估計?例5?7設(shè)總體X~N(???2)??與?2均未知??∞
4、試求?與?2的最大似然估計?解X的密度為似然函數(shù)為例5?7設(shè)總體X~N(???2)??與?2均未知??∞
5、設(shè)某種型號的電子元件的壽命X(以小時計)的密168?130?169?143?174?198?108?212?252?平均壽命以及概率P{X?180}的最大似然估計值?先求平均壽命EX即?的最大似然估計量?解似然函數(shù)為解例5?8設(shè)某種型號的電子元件的壽命X(以小時計)的密168?130?169?143?174?198?108?212?252?平均壽命以及概率P{X?180}的最大似然估計值?二、矩估計1?矩法的基本思想用相應(yīng)的樣本矩去估計總體矩?用相應(yīng)的樣本矩的函數(shù)去估計總體矩的函數(shù)?例如二、矩估計1?矩法的基本思想一般地?若記則
6、總體的k階原點矩用相應(yīng)的樣本k階原點矩來估計?而總體的k階中心矩用相應(yīng)的樣本k階中心矩來估計?即這種求點估計的方法叫做矩法?用矩法確定的估計量稱為矩估計量?相應(yīng)的估計值稱為矩估計值?矩估計量與矩估計值統(tǒng)稱為矩估計?可簡記為ME?2?矩估計的求法按照矩法的基本思想求矩估計的一般步驟為?(1)從總體矩入手將待估參數(shù)?表示為總體矩的函數(shù)?即??g(?1??????l??2??????s)(2)用Ak?Bk分別替換g中的?k??k?例5?9設(shè)總體X~N(???2)?(X1?????Xn)為取自總體X的樣本?試求???2的矩估計量?解??
7、EX??2?DX?故分別為?與?2的矩估計量?由此可見?正態(tài)總體N(???2)中?與?2的最大似然估計和矩估計是完全一樣的?例5.10設(shè)總體X服從參數(shù)為m?p的二項分布?m已知?p未知?(X?????Xn)為其樣本?試求(1)p的矩估計量?(2)p與q之比的矩估計量?其中q?1?p?解矩估計量?例5?11設(shè)總體X的密度函數(shù)為其中參數(shù)???均未知???0?(X1?????Xn)為取自X的樣本?試求???的矩估計量?解計算得到解計算得到從而?與?的矩估計量分別為例5?11設(shè)總體X的密度函數(shù)為其中參數(shù)???均未知???0?(X1???
8、??Xn)為取自X的樣本?試求???的矩估計量?
