淋雨量建模問題.doc

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1、淋雨量建模問題摘要生活中，我們常常遇到過這樣的問題，我們走在路上，突然下起雨來，而目的地離我們并不遠(yuǎn)，我們并不準(zhǔn)備避雨。所以我們就遇到一個(gè)問題，到底應(yīng)該怎么走才能減少淋雨量呢？在平常情況下，大多數(shù)人都會(huì)奔跑前行。但是，這樣真的能夠減少淋雨量嗎?1.問題敘述一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家僅1000米，而且情況緊急，你來不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。如果剛剛出發(fā)雨就下起來了，但你不打算再回去了，一路上，你將被雨水淋濕。一個(gè)似乎很簡單事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少淋雨時(shí)間和淋雨量。事實(shí)是不是如此呢？試組建

2、數(shù)學(xué)建模來探討雨中行走的策略，以盡量減少淋雨量。二、問題分析淋雨量是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積。主要影響因素：降雨的大小，降雨的方向，路程的遠(yuǎn)近，行走的速度三.模型假設(shè)即符號(hào)說明1.將人體簡化成一個(gè)長方體，高a，寬b，厚c淋雨量（V）降雨量（ω）人體淋雨面積（S）淋浴時(shí)間（t）時(shí)間（t）跑步距離（d）人跑步速度（v）跑步最大速度（vm）雨速（u）2.假設(shè)降雨大小為一定值；3.速度一定，人的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線：4.風(fēng)速保持不變四．模型建立與求解：（一）設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身

3、，則淋雨面積：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用時(shí)間為：t=d/v總降雨量：V＝ω×S×d/v（二）.若雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為θ.，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量.（如圖1）設(shè)雨從迎面吹來時(shí)與人體夾角為.，且0°<<90°，建立a，b，c，d，u，，之間的關(guān)系，取高a=1.5m，寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的距離d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為且方向與v相反故人相對(duì)于雨的水平速度為：則前部單位

4、時(shí)間單位面積淋雨量為：又因?yàn)榍安康牧苡昝娣e為：，時(shí)間為：d/v于是前部淋雨量V2為：即：①（2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且與v無關(guān)，所以頂部單位時(shí)間單位面積淋雨量為，頂部面積為，淋雨時(shí)間為，于是頂部淋雨量為：②由①②可算得總淋雨量:代入數(shù)據(jù)求得：由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。對(duì)函數(shù)V（v）求導(dǎo)，得：顯然：<0，所以V為v的減函數(shù)，V隨v增大而減小。因此，速度v=vm=5m/s，總淋雨量最小。（三）若雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為α則

5、淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量.（如圖2）設(shè)雨從背部吹來時(shí)與人體夾角為，且0°＜﹤90°,建立a，b，c，d，u，，之間的關(guān)系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從背面吹來，而對(duì)于人頂部的淋雨量V1，它與模型①中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：（2）、后部淋雨量：人相對(duì)于雨的水平速度為：從而可得，人背部單位時(shí)間單位面積淋雨量為：可得人背部淋雨量為：而總淋雨量：V=V1＋V3從而有：③化簡③式得：④代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡得：⑤由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。（Ⅰ）、當(dāng)時(shí)，且0°＜﹤90°

6、，可得：ccosα＋asinα>0對(duì)⑤式求導(dǎo)，易知<0；所以，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少，因此，總淋雨量最小。（Ⅱ）、當(dāng)v>usinα?xí)r，且0°＜α﹤90°，對(duì)⑤式求導(dǎo)，解得：總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而增加，所以，當(dāng)速度（v）取最小，即v=usinα總淋雨量最小。五、結(jié)果分析：1.如果雨是迎著你的前進(jìn)方向向你落下，這時(shí)的策略很簡單，應(yīng)該以最大的速度向前跑。2.如果雨是從你的背后落下，這時(shí)你應(yīng)該控制你在雨中的行走速度，讓他剛好等于落雨速度的水平分速度。