立體幾何線面位置關(guān)系的判定與證明.doc

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1、第10講　立體幾何線面位置關(guān)系的判定與證明一、考點(diǎn)要點(diǎn)線面的平行與垂直的判定和性質(zhì)：平行垂直直線a與直線b（1）同平行于直線c的兩直線平行（2）a∩b=b，a∥a，aìbTa∥b（3）a∩b=b，a∥a，a∥bTa∥b（4）a⊥a，b⊥aTa∥b（5）兩平行平面都和第三個(gè)平面相交，則交線平行（1）a⊥b，b∥cTa⊥c（2）a⊥a，bìaTa⊥b（3）三垂線定理、逆定理（4）a∥a，b⊥aTa⊥b直線a（b）與平面a（b、γ）（1）a?a，bìa，a∥bTa∥a（2）a∥b，aìbTa∥a（3）a?a，a⊥b，a⊥bTa∥a（1）m、nìa，m∩n=B，a⊥m，a⊥n

2、Ta⊥a（2）a∥b，b⊥aTa⊥a（3）a∥b，a⊥bTa⊥a（4）a⊥b，a∩b=b，ab，a⊥bTa⊥a（5）a⊥b，b⊥γ，b∩g=aTa⊥a平面a與平面b（1）若a內(nèi)的兩條相交直線a、b都平行于b，則a∥b（2）a⊥a，b⊥aTa∥b（3）平行于同一平面的兩平面平行（1）l⊥b，lìaTa⊥b（2）a∥b，a⊥gTb⊥g根據(jù)上述線面的平行與垂直的判定和性質(zhì)，可知：“線線平行線面平行面面平行”，“線線垂直線面垂直面面垂直”是立幾中所表現(xiàn)出的線面的平行與垂直關(guān)系互相轉(zhuǎn)化的基本思路，掌握了這種轉(zhuǎn)化思路，也就掌握了用傳統(tǒng)方法解答立體幾何問(wèn)題的鑰匙．若是單純的判斷題，

3、通常是結(jié)合圖形（或另作，或想象）將三種語(yǔ)言（文字、符號(hào)、圖形）互譯互助，利用判定定理或性質(zhì)定理解決；若是線面平行、垂直關(guān)系的證明問(wèn)題，基本思路是：由“已知”用性質(zhì)推“可知”，看“欲證”想“要證”用判斷，并借助圖形直觀，添加必要的輔助線（面）；若是角、距離的計(jì)算問(wèn)題，首先是在原有圖形上千方百計(jì)地找到（或作出）符合相關(guān)定義的角、距離，然后加以論證，最后是計(jì)算角或距離的大?。⒌湫屠}例1（1）（2013·廣東）設(shè)m，n是兩條不同的直線，a，b是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（　?。瓺（用長(zhǎng)方體模型思考判斷）A．若a⊥b，mìa，nìb，則m⊥nB．若a∥b，mìa

4、，nìb，則m∥nC．若m⊥n，mìa，nìb，則a⊥bD．若m⊥a，m∥n，n∥b，則a⊥b（2）（2013·新課標(biāo)）已知m，n為異面直線，m⊥平面a，n⊥平面b．直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?a，l?b，則（　?。瓺A．a(chǎn)∥b，且l∥aB．a(chǎn)⊥b，且l⊥bC．a(chǎn)與b相交，且交線垂直于lD．a(chǎn)與b相交，且交線平行于l5EBADCECDBA例2（2008·重慶）如圖，在△ABC中，B=90°，AC=7.5，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上，使AD:DB=AE:EC=2，DE=3．現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二角角，求：（1）異面直線AD與BC的距離；（2）二面角A－EC－B

5、的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）．分析（1）因?yàn)榕cAD、BC既垂直又相交的直線是異面直線AD與BC的公垂線，兩交點(diǎn)間的線段長(zhǎng)是其距離，所以圖文結(jié)合，仔細(xì)領(lǐng)會(huì)題意，不難發(fā)現(xiàn)BD就是異面直線AD與BC的距離．（2）在折疊后的圖中，由于AD⊥底面DBCE，所以利用三垂線定理或逆定理作出二面角A－EC－B的平面角，然后加以論證和計(jì)算．解（1）∵AD:DB=AE:EC，∴BE∥BC．又因B=90°，∴AD⊥DE．BADCEF因A－DE－B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，從而AD⊥DB．注意到DB⊥BC，所以DB為異面直線AD與BC的公垂線．如圖，由AD:DB=AE:EC

6、=2，得DE:BC=AD:AB=2:3．又DE=3，∴BC=4.5，AB2=AC2－BC2=36．進(jìn)而BD=2，即異面直線AD與BC的距離為2．（2）如圖，過(guò)D作DF⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)AF．由（1）知，AD⊥底面DBCE，由三垂線定理知AF⊥FC，故∠AFD為二面角A－EC－B的平面角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，BD=2，CE=2.5，得，從而在Rt△DFE中，DE=3，DF=DE·sin∠DEF=DE·sin∠BCE=2.4．在Rt△AFD中，AD=4，，因此所求二面角A－EC－B的大小為．說(shuō)明：1．現(xiàn)行教材及考綱中對(duì)異面直線的距離要求較低

7、，在圖中往往有現(xiàn)成的距離（不需要另作），只要根據(jù)題意加以說(shuō)明（證明）它滿足異面直線的距離所要求的兩個(gè)條件：既垂直又相交即可．2．作二面角的平面角時(shí)，通常需要確定出（或找到）一個(gè)半平面的一條垂線，借助于三垂線定理或逆定理去作角（先作出），后證明．3．要善于熟練應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系．例3（2008·安徽）如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．（1）證明：直線MN∥平面OCD；（2）求異面直線AB與MD所成角的大小；（3）求點(diǎn)B到平面OCD的距離．分析