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1、《信息光學(xué)原理與計(jì)算》全書習(xí)題及參考答案第1章習(xí)題1-1，設(shè)a,b是實(shí)常數(shù)，試證明δ函數(shù)下述坐標(biāo)縮放性質(zhì).11(1)δ(at)=δt)((2)δ(ax,by)=δ(x,y)aab參考答案：(1)∞按一維δ函數(shù)的定義：∫δ()xdx=1?∞∞1令上式x=at有∫δ()atdt=a?∞1比較以上兩式有δ(at)=δt)(。a（2）按二維δ函數(shù)的定義：∞∞∫∫δ()x,ydxdy=1?∞?∞∞∞=∫δ()xdx∫δ()ydy?∞?∞∞∞=ab∫δ()axdx∫δ()bydy?∞?∞∞∞=ab∫∫δ()ax
2、,bydxdy?∞?∞∞∞1即∫∫δ()ax,bydxdy=ab?∞?∞1因此有δ(ax,by)=δ(x,y)ab習(xí)題1-2，試求余弦函數(shù)f(x)=cosωx的傅立葉變換.0參考答案：設(shè)頻域坐標(biāo)為ξ，有∞F{}(cos()ωx=cosωx)exp()?j2πξxdx0∫0?∞∞1=[]exp()()jωx+exp?jωxexp()?j2πξxdx∫002?∞11=F{}exp()jωx+F{}exp()?jωx00221?ω0?1?ω0?=δ?ξ??+δ?ξ+?2?2π?2?2π?習(xí)題1-3，對于滿
3、足圓對稱性的光學(xué)系統(tǒng)，函數(shù)g(r)僅與半徑r有關(guān)，試證明：R(1)g(r)在極坐標(biāo)下的博里葉變換為：R+∞G(ρ)=2πrg(r)J2(πrρd)r∫R00(2)G(ρ)在極坐標(biāo)下的博里葉逆變換為：+∞g(r)=2πρG(ρ)J2(πrρd)ρR∫00(以上兩式中J為零階第一類貝塞爾函數(shù))0參考答案：(1)設(shè)g(r,θ)在直角坐標(biāo)下對應(yīng)的函數(shù)為f(,)xy，按照傅里葉變換的定義，在直角坐標(biāo)下為∞F{}(f()x,y=∫fx,y)exp()?j2π(ξx)+ηydxdy?∞令x?y平面上的極坐標(biāo)為(,
4、)rθ；頻率空間ξ?η平面上的極坐標(biāo)為(,)ρφ?xr=cosθ?ξ=ρφcos有：???yr=sinθ?η=ρφsin?xr=cosθ將?代入上面F{}f()x,y表達(dá)式得：?yr=sinθ2π∞G()ρ,φ=dθrg(r)exp[]?j2πrρ(cosθcosφ+sinθsinφ)dr0∫∫R00它等價(jià)于∞2πG()ρ,φ=drrg(r)exp[]?j2πrρcos()θ?φdθ0∫R∫002π1利用貝塞爾恒等式J()a=exp[]?jacos()θ?φdθ可將上式化簡為0∫2π0∞G()()ρ
5、,φ=Gρ=2πrg(r)()J2πρdr0∫R00（2）用與上面完全相同的論證方法，圓對稱函數(shù)G(ρ)的傅里葉逆變換可表示為：+∞g(r)=2πρG(ρ)J2(πrρd)ρR∫00習(xí)題1-4，請結(jié)合實(shí)際簡述：什么是光學(xué)系統(tǒng)？什么是線性光學(xué)系統(tǒng)？什么是線性不變光學(xué)系統(tǒng)？參考答案：利用透鏡、反射鏡、棱鏡、光闌等典型光學(xué)元件，或利用光柵、二元光學(xué)元件進(jìn)行光波變換的系統(tǒng)都稱為光學(xué)系統(tǒng)。如：望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡、照相機(jī)鏡頭、投影儀鏡頭等，為典型的成像光學(xué)系統(tǒng)。Fresnel波帶板、微透鏡陣列、DMD等，為衍射成像
6、光學(xué)系統(tǒng)。輸出與輸入間滿足線性疊加關(guān)系的光學(xué)系統(tǒng)稱為線性光學(xué)系統(tǒng)。線性光學(xué)系統(tǒng)對輸入的作用可以用一個(gè)線性算符L{}來表示，當(dāng)L{f(x,y)}=g(ξ,η)，L{f2(x,y)}=g2(ξ,η)，且a1、a2為常數(shù)時(shí)，11L{af(x,y)+af(x,y)}=ag(ξ,η)+ag(ξ,η)11221122式中(x,y)、(ξ,η)分別表示輸入、輸出面坐標(biāo)。理想成像系統(tǒng)、光波在自由空間的傳播都具有線性光學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)。輸入函數(shù)在輸入面上的平移僅對應(yīng)輸出函數(shù)在輸出面上的相應(yīng)平移，即系統(tǒng)傳輸特性滿足線性平移
7、不變的光學(xué)系統(tǒng)稱為線性不變光學(xué)系統(tǒng)。用公式可以表示為：L{af(x?x,y?y)+af(x?x,y?y)}=ag(ξ?ξ,η?η)+ag(ξ?ξ,η?η)1111222211112222衍射受限系統(tǒng)就是一個(gè)線性不變光學(xué)系統(tǒng)。習(xí)題1-5在1．4中我們學(xué)習(xí)了Whittaker-Shannon二維抽樣定理，請?jiān)诶斫馑奈锢硪饬x的基礎(chǔ)上，說明它是不是唯一的抽樣定理？如果不是，請你列舉并簡要介紹其它抽樣定理.參考答案：Whittaker-Shannon二維抽樣定理的公式描述為：+∞+∞nmnmgxy(,)=×
8、∑∑g(,)sin[2(cBxxy?)]sin[2(×cBy?)]nm=?∞=?∞22BxyBBB2x2y得到此結(jié)果的條件是：①空間函數(shù)g(x,y)的頻譜是帶限的，其帶寬為2B×2B。用了一個(gè)傳遞函數(shù)為xyfxfyH(f,f)=rect(,)的濾波器從離散函數(shù)的頻譜中濾出G(f,f)；或者說濾掉xyxy2B2Bxy以2B×2B為周期進(jìn)行周期性延拓出的那些頻譜成分。xy1②空間函數(shù)g(x,y)是在一個(gè)矩形柵格的格點(diǎn)上進(jìn)行抽樣的，x方向的格點(diǎn)距為，y方2Bx1向的格點(diǎn)距為
