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《高等數(shù)學(同濟大學)課件上第3_3泰勒.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式的建立機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒公式的應(yīng)用—應(yīng)用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算泰勒(Taylor)公式第三章特點:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?x的一次多項式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.求n次近似多項式要求:故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令則2.余項估計令(稱為余項),則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束公式①稱為的n階泰勒公式.公式②稱為n階泰勒公式的拉格朗日余項.泰
2、勒中值定理:階的導數(shù),時,有①其中②則當泰勒目錄上頁下頁返回結(jié)束公式③稱為n階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項.在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為注意到③④*可以證明:④式成立機動目錄上頁下頁返回結(jié)束特例:(1)當n=0時,泰勒公式變?yōu)?2)當n=1時,泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差機動目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林目錄上頁下頁返回結(jié)束由此得近似公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式其中機動目錄上
3、頁下頁返回結(jié)束其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可得其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束已知其中類似可得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計算中的應(yīng)用誤差M為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項數(shù)n;2)已知項數(shù)n和x,計算近似值并估計誤差;3)已知項數(shù)n和誤差限,確定公式中x的適用范圍.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束已知例1.計算無理數(shù)e的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計算可知當n=9時上式成立,因此的麥克勞林公式為
4、機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:注意舍入誤差對計算結(jié)果的影響.本例若每項四舍五入到小數(shù)點后6位,則各項舍入誤差之和不超過總誤差為這時得到的近似值不能保證誤差不超過因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.用近似公式計算cosx的近似值,使其精確到0.005,試確定x的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當時,由給定的近似公式計算的結(jié)果能準確到0.005.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.利用泰勒公式求極限例3.求解:由于用洛必塔法則不方便!用泰勒公式將分子展到項,機動目錄上頁下頁返回
5、結(jié)束3.利用泰勒公式證明不等式例4.證明證:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項當時為麥克勞林公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.常用函數(shù)的麥克勞林公式(P140~P142)3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項式逼近函數(shù),例如目錄上頁下頁返回結(jié)束42246420246泰勒多項式逼近機動目錄上頁下頁返回結(jié)束42246420246泰勒多項式逼近機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習計算解:原式第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P1431;4;5;7;8;1
6、0(1),(2)泰勒(1685–1731)英國數(shù)學家,他早期是牛頓學派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機幾何學》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù).由題設(shè)對證:備用題1.有且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束下式減上式,得令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩邊同乘n!
7、=整數(shù)+假設(shè)e為有理數(shù)(p,q為正整數(shù)),則當時,等式左邊為整數(shù);矛盾!2.證明e為無理數(shù).證:時,當故e為無理數(shù).等式右邊不可能為整數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束
