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《高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件上第3_3泰勒.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式的建立機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒公式的應(yīng)用—應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析近似計(jì)算泰勒(Taylor)公式第三章特點(diǎn):一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?x的一次多項(xiàng)式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.求n次近似多項(xiàng)式要求:故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令則2.余項(xiàng)估計(jì)令(稱為余項(xiàng)),則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束公式①稱為的n階泰勒公式.公式②稱為n階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng).泰
2、勒中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)泰勒目錄上頁下頁返回結(jié)束公式③稱為n階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項(xiàng).在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),泰勒公式可寫為注意到③④*可以證明:④式成立機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特例:(1)當(dāng)n=0時(shí),泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1時(shí),泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林目錄上頁下頁返回結(jié)束由此得近似公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中機(jī)動(dòng)目錄上
3、頁下頁返回結(jié)束其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可得其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束已知其中類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用誤差M為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)n;2)已知項(xiàng)數(shù)n和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)n和誤差限,確定公式中x的適用范圍.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束已知例1.計(jì)算無理數(shù)e的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng)n=9時(shí)上式成立,因此的麥克勞林公式為
4、機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:注意舍入誤差對計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后6位,則各項(xiàng)舍入誤差之和不超過總誤差為這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.用近似公式計(jì)算cosx的近似值,使其精確到0.005,試確定x的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時(shí),由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.利用泰勒公式求極限例3.求解:由于用洛必塔法則不方便!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回
5、結(jié)束3.利用泰勒公式證明不等式例4.證明證:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.常用函數(shù)的麥克勞林公式(P140~P142)3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù),例如目錄上頁下頁返回結(jié)束42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)計(jì)算解:原式第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P1431;4;5;7;8;1
6、0(1),(2)泰勒(1685–1731)英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機(jī)幾何學(xué)》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù).由題設(shè)對證:備用題1.有且機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束下式減上式,得令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束兩邊同乘n!
7、=整數(shù)+假設(shè)e為有理數(shù)(p,q為正整數(shù)),則當(dāng)時(shí),等式左邊為整數(shù);矛盾!2.證明e為無理數(shù).證:時(shí),當(dāng)故e為無理數(shù).等式右邊不可能為整數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
