高等數(shù)學(xué)-第三章-泰勒公式-同濟(jì)大學(xué)ppt課件.ppt

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1、泰勒公式本節(jié)要點(diǎn)我們將引入具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的泰勒展開式,并給出相應(yīng)的拉格朗日型余項(xiàng)和佩亞諾型余項(xiàng).利用階的泰勒公式給出函數(shù)在特定點(diǎn)的近似估計(jì).最后利用佩亞諾型余項(xiàng)去求某些復(fù)雜函數(shù)的極限.一、問題的提出由拉格朗日中值定理,若并且當(dāng)很小或上式是用一次多項(xiàng)式來近似表達(dá)一個(gè)函數(shù),但缺點(diǎn)是時(shí),有不能具體估計(jì)誤差的大小,并且在近似估計(jì)時(shí)精度不夠高.設(shè)函數(shù)在含的開區(qū)間內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù),來近似表示并給出誤差的具體表達(dá)式.為了使所求出的多項(xiàng)式與函數(shù)在數(shù)值與性質(zhì)方面吻合得更好,進(jìn)一步要求在點(diǎn)處的函數(shù)值以⑴我們的目的是用一個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式及它的階導(dǎo)數(shù)值與在

2、處的函數(shù)值以及它的階導(dǎo)數(shù)值分別相等.即⑵因?qū)⒋肷鲜?得于是有⑶上式稱為函數(shù)的階泰勒多項(xiàng)式.例1求在處的1階和2階泰勒多項(xiàng)式.解因故而1階泰勒多項(xiàng)式為:2階泰勒多項(xiàng)式為:我們將的圖象作一個(gè)比較.圖中顯示的情況說明,2階泰勒多項(xiàng)式比1階泰勒多項(xiàng)式的近似程度要好.二、泰勒中值定理定理如果函數(shù)在含的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù),即那么對(duì)于⑷有這里,是與之間的某個(gè)值.其中⑸注公式⑷稱為在處關(guān)于的階泰勒當(dāng)時(shí),泰勒公式即為拉格朗日中值公式:所以,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.公式,而⑸稱為拉格朗日型余項(xiàng).分析用的泰勒多項(xiàng)式近似表示時(shí),其

3、誤⑹在公式⑶中,取若記則差為如果對(duì)于某個(gè)固定的當(dāng)時(shí),則有由此得到近似計(jì)算公式:上式稱為函數(shù)的階麥克勞林多項(xiàng)式.而相應(yīng)的誤⑻差估計(jì)式為⑺例2求出函數(shù)的階麥克勞林展開式.解因所以:代入⑹式,得因而相應(yīng)的近似表達(dá)式為當(dāng)時(shí),相應(yīng)的誤差估計(jì)式為如果取即得到的近似表達(dá)式:例3求在解因處的三階泰勒展開式.所以例4求出函數(shù)的階麥克勞林展開式.解因所以由公式⑹得其中當(dāng)取或則可以得到的3次與5次近似多項(xiàng)式:相應(yīng)的誤差分別為利用Mathematica可以做出函數(shù)與其近似多項(xiàng)式的圖形.從圖中可以看到,與其泰勒多項(xiàng)式隨著的增大而越來越貼近.常見函數(shù)的麥克勞

4、林展開式:其中其中其中因當(dāng)時(shí),余項(xiàng)是比高階的無從而⑷式改變?yōu)棰头Q為帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開式.更有下面的.窮小,即⑼有定理2如果函數(shù)在含的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù),且則常見函數(shù)帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林展開式:例5求極限解分別寫出的二階帶佩亞諾型余項(xiàng)由此得到的泰勒展開式:所以例6求極限解由展開式:所以又故所以例7求極限解令則所以再由泰勒公式:此時(shí)上式為故原極限為