皮亞諾型余項.doc

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1、目錄摘要…………………………………………………………………………關鍵詞………………………………………………………………………Abstract………………………………………………………………Keywords…………………………………………………………………..1.引言……………………………………………………………………2.不同型泰勒公式證明……………………………………………………2.1泰勒公式2.2帶有皮亞諾型余項泰勒公式的證明……………………………2.3帶有柯西型余項泰勒公式的證明…………………………………….2.4帶有拉格朗日余項泰勒公式的證明…………………………………2.5帶有積分型

2、余項泰勒公式的證明……………………………………3.不同型余項泰勒公應用…………………………………………………3.1.帶有皮亞諾型余項的泰勒公式的應用………………………………3.1.1求未定式的極限的應用3.1.2廣義積分斂散性判定的應用3.1.3數項級數和函數項級數斂散性判斷的應用3.2帶有柯西型余項的泰勒公式的應用…………………………..3.2.1初等函數的冪級數的展開式中的應用3.3帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的應用……………………………3.3.1證明中值公式的應用3.3.2證明等式和不等式的應用3.3.3近視值的計算的應用3.4帶有積分型余項的泰勒公式的應用………………………………

3、…3.4.1定積分計算中的應用4.結束語……………………………………………………………………參考文獻……………………………………………………………………泰勒公式的證明容摘要:泰勒公式是數學分析中一個非常重要的容,不僅在理論上占有重要的地位,也在微分學理論中最一般的情形是泰勒公式,它建立了函數的增量,自變量增量與一階及高階導數的關系,將一些復雜的函數近似地表示為簡單的多項式函數,這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數學問題的有力杠桿。泰勒公式的余項有兩種:一種是定性的,例如我們可以使用泰勒公式,佩亞諾型余項;另一種是定量的,如拉格朗日余項、柯西型余項等。來很好的解決有關高價函數導數問題

4、。泰勒公式的收縮適度很好的鍛煉了學習數學的思維,讓我們在學習的時候有更廣的思維空間。關鍵字:泰勒公式皮亞諾余項拉格朗日1.引言泰勒公式是數學分析中一個重要的容,微分學理論中最一般的情形是泰勒公式,它建立了函數的增量,自變量增量與一階及高階導數的關系,將一些復雜的函數近似地表示為簡單的多項式函數,這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數學問題的有力杠桿。我們可以使用泰勒公式,來很好的解決某些問題,如求某些極限,確定無窮小的階,證明等式和不等式,判斷斂散性以及解決中值問題等。本文著重論述泰勒公式在極限、近似、積分運算以及中值問題這四個方面的具體應用方法。2.泰勒公式的證明2.1泰勒公式我們

5、在學習導數和微分概念時已經知道,如果函數在點0可導,則有即在點附近,用一次多項式逼近函數時,其誤差為的高階無窮小量。然而在很多場合,取一次多項式逼近是不夠的,往往需要用二次或高于二次的多項式去逼近,并要求誤差為n),其中n為多項式的次數,為此,我們考察任一n次多項式。.(1)逐次求它的點處的各階導數,得到,即由此可見,多項式的各項系數由其點的各階導數值所唯一確定。對于一般的函數,設它在點存在直到n階的導數。由這些導數構造一個n次多項式(2)稱為函數在點處的泰勒多項式。的各項系數稱為泰勒系數。由上面對多項式系數的討論,易知與其泰勒多項式在點有相同的函數值和相同的直至n階導數值,即,k=0,

6、1,2,。。。,n(3)下面將要證明,即以(2)式所示的泰勒多項式逼近時,其誤差為關于的高階無窮小量。2.2帶有皮亞諾型余項的泰勒公式的證明定理1若函數在點存在直至n階導數,則有,即(4)證設現在只要證由關系式(3)可知并易知.因為存在,所以在點的某領域存在n-1階導函數.于是,當且,允許連接使用洛必達法則n-1次,得到定理所證的(4)式稱為函數在點處的泰勒公式,稱為泰勒公式的余項,形如的余項稱為皮亞諾型余項。所以(4)又稱帶有皮亞諾型余項的泰勒公式。2.3帶有柯西型余項的泰勒公式的證明定理2設函數和滿足(i)在[a,b]上連續(xù);(ii)在(a,b)可導;(iii)和不同時為零;(iv)

7、,則存在,使得證作輔助函數易見F在[a,b]上滿足羅爾定理條件,故存在,使得2.4帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的證明若函數在[a,b]上存在直至n階的連續(xù)導函數,在(a,b)存在(n+1)階導數,則對任意給定的x,,至少存在一點,使得(5)證作輔助函數所證明的(0)式即為或不妨設x0

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