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1、目錄摘要…………………………………………………………………………關(guān)鍵詞………………………………………………………………………Abstract………………………………………………………………Keywords…………………………………………………………………..1．引言……………………………………………………………………2．不同型泰勒公式證明……………………………………………………2.1泰勒公式2.2帶有皮亞諾型余項(xiàng)泰勒公式的證明……………………………2.3帶有柯西型余項(xiàng)泰勒公式的證明…………………………………….2.4帶有拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式的證明…………………………………2.5帶有積分型
2、余項(xiàng)泰勒公式的證明……………………………………3．不同型余項(xiàng)泰勒公應(yīng)用…………………………………………………3.1.帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用………………………………3.1.1求未定式的極限的應(yīng)用3.1.2廣義積分?jǐn)可⑿耘卸ǖ膽?yīng)用3.1.3數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判斷的應(yīng)用3.2帶有柯西型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用…………………………..3.2.1初等函數(shù)的冪級數(shù)的展開式中的應(yīng)用3.3帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用……………………………3.3.1證明中值公式的應(yīng)用3.3.2證明等式和不等式的應(yīng)用3.3.3近視值的計(jì)算的應(yīng)用3.4帶有積分型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用………………………………
3、…3.4.1定積分計(jì)算中的應(yīng)用4.結(jié)束語……………………………………………………………………參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………泰勒公式的證明容摘要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的容，不僅在理論上占有重要的地位,也在微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式,它建立了函數(shù)的增量,自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿。泰勒公式的余項(xiàng)有兩種：一種是定性的，例如我們可以使用泰勒公式,佩亞諾型余項(xiàng)；另一種是定量的，如拉格朗日余項(xiàng)、柯西型余項(xiàng)等。來很好的解決有關(guān)高價(jià)函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題
4、。泰勒公式的收縮適度很好的鍛煉了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維，讓我們在學(xué)習(xí)的時(shí)候有更廣的思維空間。關(guān)鍵字：泰勒公式皮亞諾余項(xiàng)拉格朗日1.引言泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的容，微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函數(shù)的增量，自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿。我們可以使用泰勒公式，來很好的解決某些問題，如求某些極限，確定無窮小的階，證明等式和不等式，判斷斂散性以及解決中值問題等。本文著重論述泰勒公式在極限、近似、積分運(yùn)算以及中值問題這四個(gè)方面的具體應(yīng)用方法。2.泰勒公式的證明2.1泰勒公式我們
5、在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微分概念時(shí)已經(jīng)知道，如果函數(shù)在點(diǎn)0可導(dǎo)，則有即在點(diǎn)附近，用一次多項(xiàng)式逼近函數(shù)時(shí)，其誤差為的高階無窮小量。然而在很多場合，取一次多項(xiàng)式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式去逼近，并要求誤差為n），其中n為多項(xiàng)式的次數(shù)，為此，我們考察任一n次多項(xiàng)式。.（1）逐次求它的點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)，得到，即由此可見，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)由其點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定。對于一般的函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到n階的導(dǎo)數(shù)。由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)n次多項(xiàng)式（2）稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式。的各項(xiàng)系數(shù)稱為泰勒系數(shù)。由上面對多項(xiàng)式系數(shù)的討論，易知與其泰勒多項(xiàng)式在點(diǎn)有相同的函數(shù)值和相同的直至n階導(dǎo)數(shù)值，即,k=0，
6、1，2，。。。，n（3）下面將要證明，即以（2）式所示的泰勒多項(xiàng)式逼近時(shí)，其誤差為關(guān)于的高階無窮小量。2.2帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的證明定理1若函數(shù)在點(diǎn)存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有，即（4）證設(shè)現(xiàn)在只要證由關(guān)系式（3）可知并易知.因?yàn)榇嬖?，所以在點(diǎn)的某領(lǐng)域存在n-1階導(dǎo)函數(shù).于是，當(dāng)且，允許連接使用洛必達(dá)法則n-1次，得到定理所證的（4）式稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒公式，稱為泰勒公式的余項(xiàng)，形如的余項(xiàng)稱為皮亞諾型余項(xiàng)。所以（4）又稱帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式。2.3帶有柯西型余項(xiàng)的泰勒公式的證明定理2設(shè)函數(shù)和滿足（i）在[a,b]上連續(xù)；（ii）在（a,b）可導(dǎo)；（iii）和不同時(shí)為零；（iv）
7、,則存在，使得證作輔助函數(shù)易見F在[a,b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在，使得2.4帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式的證明若函數(shù)在[a,b]上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在（a，b）存在（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則對任意給定的x，，至少存在一點(diǎn)，使得（5）證作輔助函數(shù)所證明的（0）式即為或不妨設(shè)x0
