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1、平面向量的數乘運算指導教師：駱雄一、教學目標設計（一）教學重難點重點：掌握實數與向量的積的定義、運算律,理解向量共線定理。難點：向量共線定理的探究及其應用。（二）三維目標設計1.知識與技能:通過實例，掌握向量數乘運算，理解其幾何意義，理解向量共線定理。熟練運用定義、運算律進行有關計算，能夠運用定理解決向量共線、三點共線、直線平行等問題。2.過程與方法:理解掌握向量共線定理及其證明過程，會根據向量共線定理判斷兩個向量是否共線。3.態(tài)度情感與價值觀：通過由實例到概念，由具體到抽象，培養(yǎng)學生自主探究知識形成的過程的能力，合作釋疑過程
2、中合作交流的能力。激發(fā)學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情感，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度，勇于創(chuàng)新的精神。二、教材感知1．向量的數乘運算(1)向量的數乘運算的概念：實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，其長度與方向規(guī)定如下：①
3、λa
4、＝
5、λ
6、
7、a
8、；②λa(a≠0)的方向特別地，當λ＝0或a＝0時，0a＝0或λ0＝0.(2)向量數乘的運算律：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)向量的線性運算：向量的加、減、數乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算．對于任意向
9、量a，b，以及任意實數λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.2．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使b＝λa.[小問題·大思維]1．若λa＝0，則λ＝0對嗎？提示：不對．當λa＝0時，λ＝0或a＝0.2．共線向量定理中b＝λa，a若為0如何？提示：當a＝0時，則λ不存在(b≠0時)或者不唯一(b＝0時)．3．已知向量a，b不共線，則m＝a－3b與n＝－2a＋6b共線嗎？提示：n＝－2m，故m與n共線．4．與非零向量a共線的單位向量是什么？提示：由于單位向量的長度總等于1，所
10、以與非零向量a共線的單位向量應為±.二、典例精析[例1] [(2a＋8b)－(4a－2b)]的結果是( )A．2a－b B．2b－aC．b－aD．a－b[答案] B變式練習：1．若a＝b＋c，化簡3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( )A．－aB．－bC．－cD．以上都不對解析：3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2(b＋c)．又a＝b＋c，故原式＝－a.答案：A[例2] 如圖所示，四邊形OADB是以向量＝a，＝b為鄰邊的平行四邊形．又BM＝BC
11、，CN＝CD，試用a，b表示，，.變式練習：1、在本例條件中，試用a，b表示.2、設D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與( )A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直答案：A[例3] 設兩非零向量a和b不共線，如果＝a＋b，＝3(a－b)，＝2a＋8b.求證：A、B、D三點共線．變式練習：已知e1，e2是兩個不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.若a與b是共線向量，求實數k的值．解題高手：如圖所示，已知平行四邊形ABCD的邊BC、CD的中點分別為K、L
12、，且＝e1，＝e2，試用e1，e2表示，.三、課后檢測1．已知兩不共線的向量a，b，若對非零實數m，n有ma＋nb與a－2b共線，則＝( )A．－2B．2C．－D.解析：∵ma＋nb＝λ(a－2b)，∴∴＝－.答案：C2．如圖，向量，，的終點在同一直線上，且＝－3，設＝p，＝q，＝r，則下列等式中成立的是( )A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p解析：∵＝－3，∴＝－2＝2，∴r＝＝＋＋＝－p＋q.答案：A
