湖南省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

《湖南省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共8頁，22題。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則真子集的個數(shù)為（）A.7B.8C.15D.162.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式（，為虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，化簡的結(jié)果為（）A.2B.C.D.3.已知，且，則（）A.B.C.D.4.已知向量、滿足，，則（）A.B.2C.D.5.“五一”假期期間，某旅游景區(qū)為加強游客的安全工作，決定增派甲、乙、丙、丁四位工作人員到、、三景點進行安全防護宣傳，增派的每位工作人員必須到一個景點，且只能到一個景點做安全防護宣傳，每個景點至少增派一位工作人員.因工作需要，乙不能去景點，甲和乙不能同去一個景點，則不同的安排方法數(shù)為（）A.20B.30C.42D.606.已知圓：，點在直線：上運動，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，當最大時，記劣弧及，所圍成的平面圖形的面積為，則（） A.B.C.D.7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則的值為（參考公式：）（）A.60B.120C.240D.4808.若，，，則（）A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列中的最小項為D.、、成等差數(shù)列10.已知函數(shù)，滿足，則（）A.B.的最小正周期為C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.11.已知雙曲線：的左，右焦點分別是，，漸近線方程為，點 在雙曲線上，點為雙曲線右支上任一點，則（）A.雙曲線的離心率為B.右焦點到漸近線的距離為6C.過雙曲線右焦點的直線與交于，兩點，當時，直線有3條D.若直線與雙曲線的另一個交點為，為的中點，為原點，則直線與直線的斜率之積為911.乒乓球，被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目，包括進攻、對抗和防守.某乒乓球協(xié)會組織職工比賽，比賽規(guī)則采用五局三勝制，當參賽選手甲和乙兩位中有一位贏得三局比賽時，就由該選手晉級且比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負相互獨立.假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，有選手晉級所需要比賽局數(shù)的期望值記為，則（）A.打滿五局的概率為B.的常數(shù)項為3C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.2023年3月，某市為創(chuàng)建文明城市，隨機從某小區(qū)抽取10位居民調(diào)查他們對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度，該指標數(shù)越接近10表示滿意程度越高.他們的滿意度指標數(shù)分別是8，5，6，6，9，8，9，7，10，10，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是______.14.為加強學(xué)生對平面圖形翻折到空間圖形的認識，某數(shù)學(xué)老師充分利用習(xí)題素材開展活動，現(xiàn)有一個求外接球表面積的問題，活動分為三個步驟，第一步認識平面圖形：如圖（一）所示的四邊形中，，，，.第二步：以為折痕將折起，得到三棱雉，如圖（二）.第三步：折成的二面角的大小為，則活動結(jié)束后計算得到三棱雉外接球的表面積為______.圖（一）圖（二） 15.已知函數(shù)，，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是______.16.已知函數(shù)，若有5個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分10分）在銳角中，角，，的對邊分別為，，.已知，，的面積為.（1）求；（2）以為圓心，為半徑的圓與邊有兩個交點，求的取值范圍.18.（本小題滿分12分）在①；②兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上并作答.已知數(shù)列的前項和為，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當，時，求區(qū)間上所有整數(shù)的和的表達式.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱雉中，底面為菱形，，，為正三角形.點為的中點，點在線段上運動.（1）求證：；（2）若二面角的大小為，當時，求證：直線與平面所成的角小于. 20.（本小題滿分12分）某商場在“五一”期間開展有獎促銷活動，規(guī)則如下：對一次性購買物品超過2000元的參與者，該商場現(xiàn)有以下兩種方案可供選擇：方案一：在一個放有大小相同的3個紅球和3個白球的不透明的箱子中，參與者隨機摸出一個球，若是紅球，則放回箱子中；若是白球，則不放回，再向箱子中補充一個紅球，這樣反復(fù)進行3次，若最后箱子中紅球的個數(shù)為，則該參與者獲得獎金百元；方案二：在一個放有大小相同的3個紅球和3個白球的不透明的箱子中，參與者一次性摸出3個球，把白球換成紅球再全部放回袋中，設(shè)袋中紅球個數(shù)為，則該參與者獲得獎金百元.（1）若用方案一，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若你是參與者，從期望的角度出發(fā)，你會選擇哪種參考方案？請說明理由.21.（本小題滿分12分）已知拋物線：上一點到焦點的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線交拋物線于，兩點，點，連接交拋物線于另一點，連接交拋物線于另一點，且與的面積之比為，求直線的方程.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若方程有3個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個零點，求證：，且.高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1.A【解析】由題意可得，，，所以，所以真子集的個數(shù)為7.故選A. 2.C【解析】因為，又，所以.故選C.3.B【解析】因為，所以，又，所以，從而.故選B.4.D【解析】由，可得，即，化簡得，所以，即.故選D.5.A【解析】由于乙不能去景點，則乙可以去或景點，共2種，剩余的3人可以分成1，2兩組或1，1，1三組兩種情況，①分成1，2兩組，和乙去不同的兩個景點，有種，②分成1，1，1三組，去三個景點且甲和乙不能同去一個景點，有種，所以不同的安排方法數(shù)為種.故選A.6.D【解析】圓：的圓心的坐標為，半徑為1，當最大時，垂直直線，此時，，從而四邊形的面積為，設(shè)，則，，從而劣弧及，所圍成的平面圖形的面積為，又因為，，所以，從而.故選D.7.B【解析】由題意，數(shù)列1，1，3，27，729，…為，且為一階等比數(shù)列，設(shè)，所以為等比數(shù)列，其中，，公比為，所以，則，，所以，，因為，，也適合上式，所以，所以 .故選B.8.B【解析】構(gòu)造函數(shù)，，所以，，令，，則，因為當時，，均單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，所以，因為，所以，所以單調(diào)遞增，又，從而在單調(diào)遞增，所以，所以，從而得到.又因為，構(gòu)造函數(shù)，，所以，，令，則，因為當時，，均單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，單調(diào)遞增，從而，所以，即.綜上，有.故選B.二、選擇題9.AB【解析】因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，因為，所以 ，所以，故A正確；因為，所以是遞增數(shù)列，故B正確；因為，，，所以數(shù)列中的最小項為或，故C錯誤；當時，，，，顯然不是等差數(shù)列，故D錯誤.故選AB.10.ABD【解析】因為，所以的函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對稱，則，，得，，又因為，所以，故A正確；所以，所以，故B正確；令，，所以，，當時，，為單調(diào)遞增區(qū)間，但在區(qū)間有增有減，故C錯誤；，故D正確.故選ABD.11.BD【解析】因為漸近線方程為，所以可設(shè)雙曲線：為：，又因為點在雙曲線上，所以，從而雙曲線：，所以離心率為，故A錯誤；由題可知右焦點為，所以點到漸近線的距離為，故B正確；若軸，則，所以與右支不可能有兩個交點，若與軸不垂直，與的左，右支交于，兩點，因為，所以存在兩條直線分別交左右兩支各一點.綜上可得：滿足條件的直線有2條，故C錯誤；設(shè)，，，則，，因為，在雙曲線上，所以①，②，①②并整理得，因為，，所以，，故D正確.故選BD.12.ABD【解析】設(shè)實際比賽局數(shù)為，則的可能取值為3，4，5，所以， ，，因此打滿五局的概率為，故A正確；故，常數(shù)項為3，故B正確；由，∵，所以，∴令，則；令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯誤；又，故D正確.故選ABD.三、填空題13.6.5【解析】依題意這10個數(shù)據(jù)從小到大排列為5、6、6、7、8、8、9、9、10、10，又，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第3與第4個數(shù)的平均數(shù)6.5.故答案為6.5.14.【解析】從第一步活動中可知是邊長為2的正三角形，第二步活動中可知三棱錐外接球的球心是過底面外心的平面的垂線，與過外心的平面的垂線的交點，的外心為的中心，的外心為的中點，三棱錐外接球的球心為，則，，，所以，即，所以，設(shè)外接球的半徑為，所以，所以外接球的表面積為.故答案為.15.【解析】由函數(shù)，得，當時，， 單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，又當時，，，所以當，，即函數(shù)的值域為，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，即函數(shù)的值域為，又由，，使成立，即，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為.16.【解析】由，解得或；由，解得.因為，所以或或，即或或，因為有5個零點，所以函數(shù)的圖象與三條直線，，共有5個交點.因為函數(shù)的圖象與三條直線，，共有3個交點，所以的圖象與三條直線共有2個交點，當時，，所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以時，取得極大值也即是最大值，，，結(jié)合的圖象， 可知或，解得.故答案為.四、解答題17.解：（1）因為，由余弦定理得，所以，又因為，所以.又的面積為，所以，即，所以，又因為，所以.（2）由（1）及余弦定理可知，即，所以，又若為圓心，為半徑的圓與邊相切，設(shè)切點為，則，得所以要使以為圓心，為半徑的圓與邊有兩個交點，必須滿足，所以的取值范圍為.18.解：（1）選①：∵，時，，∴兩式相減得，即，又當時，，滿足上式， ∴.選（2）：∵，時，，（2分）∴兩式相除得，當時，，滿足上式，∴.（2）由（1）可知，，，上所有整數(shù)依次為，，，…，，它們構(gòu)成首項為，公差為1的等差數(shù)列，且項數(shù)為，所以19.證明：（1）因為為菱形且，所以為等邊三角形，又因為點為中點，故.在正三角形中，，，，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）由，，可得就是二面角的平面角，所以，在中，，所以為邊長為的等邊三角形，取中點，則，又由（1）可知，平面底面，平面底面，所以底面.過點作的平行線交于點，則，所以，，兩兩相互垂直，所以以為坐標原點，以，，所在的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系， 在中，，，可得，，，，，因為，所以，所以，，，設(shè)為平面的一個法向量，則有，令，則，，得，設(shè)直線與平面所成角為，則有，所以，故直線與平面所成的角小于得證. 20.解：（1）若選擇方案一，由條件可知可能的取值為3，4，5，6，，，，，∴的分布列為：3456百元.（寫成分數(shù)形式亦可給分）（2）對于方案二，由條件可得可能的取值為3，4，5，6，，，，，∴的期望值百元.∵，所以參與者選擇方案二獲得獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望值會更高.所以作為參與者，應(yīng)該選擇方案二.21.解：（1）由題可知焦點的坐標為，所以由拋物線的定義可知，即，所以拋物線的方程為.（2）易知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，，， 由，得，則，即或，.易知直線的方程為，由，得，設(shè)，則，得，設(shè)，同理可得，則，得，， 故直線的方程為或.22.解：（1）令，即得，即方程有三個零點，即直線與曲線有三個不同的交點.，所以當或時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以當時，有極小值為，當時，有極大值為，當時，，且當時，，所以作出函數(shù)的圖象如圖所示，所以數(shù)形結(jié)合可知.（2）因為，當時，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點， 所以，此時，令，得，所以當時，；當時，.故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，（7分）若有兩個零點，則，得，所以，當時，，，，故存在，使得.又當趨向于時，趨向于，故存在，使得，故.所以由題可得，得，即；要證，只需證， 兩邊同乘以，得.因為，，所以.令，即證，即證.令，.令，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，因此，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，因此原不等式成立.