浙江省寧波市金蘭教育合作組織2023-2024學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學Word版含解析.docx

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2023學年高二年級第一學期寧波金蘭教育合作組織期中聯(lián)考數(shù)學試題本卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.選擇題部分（共60分）一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線傾斜角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通過直線方程求出斜率，進而求出直線的傾斜角.【詳解】由題意，直線的斜率為，設直線的傾斜角為，即.故選：D.2.如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，M為OA中點，N為BC中點，則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運算，即可求得答案. 【詳解】由題意得：，故選：A.3.拋物線的焦點坐標是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用拋物線的標準方程計算即可.【詳解】易知，故其焦點在縱軸上，坐標為.故選：D4.已知是橢圓在第一象限上的點，且以點及焦點，為頂點的三角形面積等于1，則點的坐標為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件設，再根據(jù)條件可得，代入即可求解出結(jié)果.【詳解】設，由題知，，所以，又，得到，代入，解得，所以, 故選：B.5.已知空間向量，0，，，2，，則向量在向量上的投影向量是（）A.，2，B.，2，C.，0，D.，0，【答案】C【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量為，計算即可求出答案.【詳解】解：向量，0，，，2，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C.6.如果方程表示雙曲線，那么下列橢圓中，與這個雙曲線共焦點的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】由方程表示雙曲線，可得c=，A，C中方程不表示橢圓，不合題意； B中，不合題意；D中的c，符合題意．故選：D.7.定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為2的正方體中，直線與之間的距離是（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】建系，求利用空間向量設兩條直線上的點為，根據(jù)題意結(jié)合空間中的兩點間距離公式運算求解.【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，可得，設，則，可得，即，故，同理可得：，則，當且僅當時，等號成立，對，當且僅當時，等號成立，故，當且僅當，即時等號成立， 即直線與之間的距離是.故選：B【點睛】方法點睛：利用空間直角坐標系處理問題的基本步驟：（1）建立適合的坐標系并標點；（2）將圖形關系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系；（3）代入相應的公式分析運算.8.如圖1，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度對這個問題進行研究，其中比利時數(shù)學家Germinaldandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個球分別與截面切于、，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球切于、，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是，由、的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以、為焦點的橢圓.如圖2，一個半徑為1的球放在桌面上，桌面上方有一點光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】圖2中，設球心為，球與相切于點，可得，利用二倍角正切公式可得 ，由此可得，由可求得，得出離心率.【詳解】圖2中，設球心為，球與相切于點，作出截面如圖所示，由題意知：，，,又，，則，又，則，則橢圓的離心率為.故選：A.二、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.如圖，過焦點直線與拋物線交于，兩點，則下列說法正確的是（）A.B.C.以弦為直徑的圓與準線相切D.，，三點共線【答案】ACD【解析】【分析】AB.由拋物線的定義判斷；C.設過焦點的直線方程為 ，與拋物線聯(lián)立，求得圓心和半徑，利用直線與圓的位置關系判斷；D，設，，由判斷.【詳解】解：設過焦點的直線方程為：，，由，得，由韋達定理得，則以AB為直徑的圓的圓心為，由拋物線的定義得，則半徑為，圓心到準線的距離為，所以以弦為直徑的圓與準線相切，設，，因為，所以在直線OA上，所以，，三點共線，由拋物線的定義得，如圖所示：則， ，則，故選：ACD10.已知直線：，：，則下列說法正確的是（）A.恒過點B.若，則C.若，則或D.若不經(jīng)過第三象限，則.【答案】AC【解析】【分析】綜合運用直線的點斜式，兩直線平行、垂直的充要條件進行判斷即可.【詳解】A選項：,即，解得，所以直線過定點，故選項A正確；B選項：若，則，解得，當時，：，：，兩直線重合，舍去；當時，：，：，兩直線平行，符合題意.所以，故選項B錯誤；C選項：若，則，解得或者，故選項C正確；D選項：當時，直線：不過第三象限，滿足題意；當時，直線：不過第三象限，則，解得，綜上，故選項D錯誤；故選：AC.11.若點是圓：上的動點，則下列說法正確的是（）A.B.C. D.若點是直線上的動點，則【答案】ABD【解析】【分析】A選項令，則，再利用直線與圓有交點求得最值；B選項令，則，再利用直線與圓有交點求得最值；C選項根據(jù)P到點距離的最大值，即可求出的最大值；D選項根據(jù)當與直線垂直時，取得最小值進行求解；【詳解】圓：，圓心，半徑對于A選項，令，則.因為點P在圓上，所以圓：與直線相交或相切，故圓心C到直線的距離，即，解得，故A正確；對于B選項，令，則.因為點P在圓上，所以圓：與直線相交或相切，故圓心C到直線的距離，即，解得，故B正確；對于C選項，的幾何意義是點P到點的距離的平方，又，所以，故C錯誤；對于D選項，圓心C到直線的距離，當與直線垂直時，能取得最小值，，故D正確.故選：ABD12.如圖，是底面圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面且，，點在線段上，則下列說法正確的是（） A.當為中點時，平面B.記直線與平面所成角為，則C.存在點，使得平面與平面夾角為D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解.【詳解】因為，，所以，又因為垂直于圓所在的平面，故以為坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，則，對于A，因為為中點，所以，，所以，即，又平面，所以平面，選項A正確；對于B，因為點在線段上，設，則，，平面的一個法向量為，所以，所以，故選項B正確；對于C，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以；設平面的一個法向量為， ，則，令，則，所以；所以，因為，所以，而，所以不存在點，使得平面與平面夾角為，故選項C錯誤；對于D，，因為，所以當時，取得最小值為，故選項D正確.故選：ABD.非選擇題部分（共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知雙曲線的方程是，則該雙曲線的漸近線方程為______.【答案】【解析】【分析】先化方程為標準方程，利用漸近線求法直接計算即可.【詳解】由，令，即雙曲線的漸近線方程為 .故答案為：.14.已知點，，直線與線段相交，則的范圍為___________.【答案】，，【解析】【分析】先求出的斜率和的斜率，可得的范圍.【詳解】解：直線，即，它經(jīng)過定點，斜率為，的斜率為，的斜率為，直線與線段相交，或，求得或，故答案為：，，.15.如圖，為保護河上古橋，規(guī)劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：新橋與河岸垂直；保護區(qū)的邊界為圓心在線段上，并與相切的圓，且古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于.經(jīng)測量，點位于點正北方向處，點位于點正東方向處（為河岸），，則新橋的長度為______. 【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標系，得到，，設，根據(jù)條件建立關系式，從而得到，即可求解.【詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，由條件知，，，因為直線的斜率為，又，所以直線的斜率，設點的坐標為，則，，聯(lián)立，解得，故所以，，故答案為：.16.已知橢圓，過點且斜率為的直線與軸相交于點，與橢圓相交于， 兩點.若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】設直線，，聯(lián)立，消去，利用韋達定理以及的坐標關系列方程求解即可.詳解】設直線，，則，聯(lián)立，消去得，，，又，，，即，，解得.故答案為：四、解答題：（本題共6個小題，其中17題10分，18至22題每題12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線過點，且直線的一個方向向量為.（1）求頂點的坐標；（2）求直線的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)方向向量及兩直線垂直求斜率再根據(jù)點斜式寫出直線，最后求交點即可；（2）先根據(jù)點在線上得出直線方程，再求交點，最后根據(jù)兩點式寫出直線方程化簡為一般式即得.小問1詳解】因為，由，則，直線的方程為即.則，得頂點的坐標為.【小問2詳解】設點，則，在上，即，即的方程為，則，得的坐標為，又，所以直線的方程為,即.18.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，側(cè)棱，.（1）求的長；（2）求直線與所成角的余弦值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】利用空間向量基底法，結(jié)合數(shù)量積運算法則即可得解.【小問1詳解】因為底面是邊長為2的菱形，側(cè)棱，，所以，，，，，又，所以.【小問2詳解】以作為空間的一個基底，則，，所以，，，所以，所以直線與所成角的余弦值為.19.已知圓的圓心為，且圓______.在下列所給的三個條件中任選一個，填在直線上，并完成解答（注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①與直線相切； ②與圓：相外切；③經(jīng)過直線與直線的交點.（1）求圓的方程；（2）圓：，是否存在實數(shù)，使得圓與圓公共弦的長度為2，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）分別根據(jù)直線與圓相切、圓與圓外切、兩點間距離公式求出半徑即可；（2）根據(jù)圓與圓相交的條件和圓的弦長公式即可求解.【小問1詳解】設圓的半徑為，若選條件①，圓與直線相切，所以圓心到直線的距離是圓的半徑，即，所以圓的方程為.若選條件②，與圓：相外切，圓的圓心為，半徑為2，所以，所以，所以圓的方程為.若選條件③，經(jīng)過直線與直線的交點，由，得，所以，所以圓的方程為.【小問2詳解】圓：的圓心為，半徑為， 兩個圓有公共弦，則，即，解得，由得兩圓公共弦所在直線方程為又兩圓的公共弦長為2，則圓心到公共弦所在直線的距離為，且，解得或，又，所以.經(jīng)檢驗符合題意.故存在實數(shù)，使得圓與圓公共弦的長度為2.20.如圖，己知在四棱錐中，平面，點在棱上，且，底面為直角梯形，，分別是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間坐標系，計算各點坐標，計算平面的法向量，由，即可證明；（2）求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的公式代入即可得出答案. 【小問1詳解】以為原點，以分別為建立空間直角坐標系，由，分別是的中點，可得：，∴，設平面的的法向量為，則有：，令，則，∴，又平面，∴平面.【小問2詳解】設平面的的法向量為，又則有：，令，則，所以 又，設直線與平面所成角為，∴，∴求直線與平面所成的角的正弦值為.21.直線與橢圓交于兩點，記的面積為.（1）當，時，求的取值范圍；（2）當，時，求直線的方程.【答案】（1）（2）或或或【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程求出坐標，表示出并求取值范圍即可；（2）聯(lián)立方程，消元后借助韋達定理，弦長公式，三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】設點，，由，解得，所以，所以，因為，所以，故當時，，所以. 【小問2詳解】設點，，由得，，，，所以，又點到直線的距離，由，，得，所以，所以，即，所以直線的方程為或或或.22.已知雙曲線與直線：有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸與，兩點.點的坐標為，當點的坐標為時，點坐標為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）當點運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線. 【答案】（1）（2）點軌跡方程為，軌跡是焦點在軸上，實軸長為20，虛軸長為10的雙曲線（去掉兩個頂點）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線和雙曲線相切求出a,b即可寫出雙曲線的標準方程；（2）相關點法求出P點的軌跡方程即可.【小問1詳解】設：，，，可得，又因為直線：過，則，所以：，又因為與雙曲線相切，所以，，，且，即，即，（1）又因為點在雙曲線上，所以，（2）由（1）（2）式可得，所以雙曲線的標準方程為【小問2詳解】 ，是雙曲線與直線的唯一公共點，所以，即，（3）解得，即，其中于是過點且與垂直的直線為，可得，，，所以將（3）式代入可得：即，其中，所以，點的軌跡方程為，軌跡是焦點在軸上，實軸長為20，虛軸長為10的雙曲線（去掉兩個頂點）.