浙江省寧波市金蘭教育合作組織2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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2023學(xué)年高二年級(jí)第一學(xué)期寧波金蘭教育合作組織期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本卷共6頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.選擇題部分（共60分）一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線傾斜角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通過直線方程求出斜率，進(jìn)而求出直線的傾斜角.【詳解】由題意，直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，即.故選：D.2.如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，M為OA中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算，即可求得答案. 【詳解】由題意得：，故選：A.3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.【詳解】易知，故其焦點(diǎn)在縱軸上，坐標(biāo)為.故選：D4.已知是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，且以點(diǎn)及焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形面積等于1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件設(shè)，再根據(jù)條件可得，代入即可求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題知，，所以，又，得到，代入，解得，所以, 故選：B.5.已知空間向量，0，，，2，，則向量在向量上的投影向量是（）A.，2，B.，2，C.，0，D.，0，【答案】C【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量為，計(jì)算即可求出答案.【詳解】解：向量，0，，，2，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C.6.如果方程表示雙曲線，那么下列橢圓中，與這個(gè)雙曲線共焦點(diǎn)的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】由方程表示雙曲線，可得c=，A，C中方程不表示橢圓，不合題意； B中，不合題意；D中的c，符合題意．故選：D.7.定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在棱長為2的正方體中，直線與之間的距離是（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】建系，求利用空間向量設(shè)兩條直線上的點(diǎn)為，根據(jù)題意結(jié)合空間中的兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)，則，可得，即，故，同理可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， 即直線與之間的距離是.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用空間直角坐標(biāo)系處理問題的基本步驟：（1）建立適合的坐標(biāo)系并標(biāo)點(diǎn)；（2）將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系；（3）代入相應(yīng)的公式分析運(yùn)算.8.如圖1，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個(gè)球分別與截面切于、，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球切于、，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是，由、的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以、為焦點(diǎn)的橢圓.如圖2，一個(gè)半徑為1的球放在桌面上，桌面上方有一點(diǎn)光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】圖2中，設(shè)球心為，球與相切于點(diǎn)，可得，利用二倍角正切公式可得 ，由此可得，由可求得，得出離心率.【詳解】圖2中，設(shè)球心為，球與相切于點(diǎn)，作出截面如圖所示，由題意知：，，,又，，則，又，則，則橢圓的離心率為.故選：A.二、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.如圖，過焦點(diǎn)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.C.以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切D.，，三點(diǎn)共線【答案】ACD【解析】【分析】AB.由拋物線的定義判斷；C.設(shè)過焦點(diǎn)的直線方程為 ，與拋物線聯(lián)立，求得圓心和半徑，利用直線與圓的位置關(guān)系判斷；D，設(shè)，，由判斷.【詳解】解：設(shè)過焦點(diǎn)的直線方程為：，，由，得，由韋達(dá)定理得，則以AB為直徑的圓的圓心為，由拋物線的定義得，則半徑為，圓心到準(zhǔn)線的距離為，所以以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，設(shè)，，因?yàn)椋栽谥本€OA上，所以，，三點(diǎn)共線，由拋物線的定義得，如圖所示：則， ，則，故選：ACD10.已知直線：，：，則下列說法正確的是（）A.恒過點(diǎn)B.若，則C.若，則或D.若不經(jīng)過第三象限，則.【答案】AC【解析】【分析】綜合運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式，兩直線平行、垂直的充要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：,即，解得，所以直線過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)：若，則，解得，當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線平行，符合題意.所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：若，則，解得或者，故選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線：不過第三象限，滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線：不過第三象限，則，解得，綜上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.11.若點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.C. D.若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)令，則，再利用直線與圓有交點(diǎn)求得最值；B選項(xiàng)令，則，再利用直線與圓有交點(diǎn)求得最值；C選項(xiàng)根據(jù)P到點(diǎn)距離的最大值，即可求出的最大值；D選項(xiàng)根據(jù)當(dāng)與直線垂直時(shí)，取得最小值進(jìn)行求解；【詳解】圓：，圓心，半徑對(duì)于A選項(xiàng)，令，則.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以圓：與直線相交或相切，故圓心C到直線的距離，即，解得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以圓：與直線相交或相切，故圓心C到直線的距離，即，解得，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，的幾何意義是點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的平方，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，圓心C到直線的距離，當(dāng)與直線垂直時(shí)，能取得最小值，，故D正確.故選：ABD12.如圖，是底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面且，，點(diǎn)在線段上，則下列說法正確的是（） A.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面B.記直線與平面所成角為，則C.存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角為D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)榇怪庇趫A所在的平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，所以，即，又平面，所以平面，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，平面的一個(gè)法向量為，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以；設(shè)平面的一個(gè)法向量為， ，則，令，則，所以；所以，因?yàn)?，所以，而，所以不存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.非選擇題部分（共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知雙曲線的方程是，則該雙曲線的漸近線方程為______.【答案】【解析】【分析】先化方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用漸近線求法直接計(jì)算即可.【詳解】由，令，即雙曲線的漸近線方程為 .故答案為：.14.已知點(diǎn)，，直線與線段相交，則的范圍為___________.【答案】，，【解析】【分析】先求出的斜率和的斜率，可得的范圍.【詳解】解：直線，即，它經(jīng)過定點(diǎn)，斜率為，的斜率為，的斜率為，直線與線段相交，或，求得或，故答案為：，，.15.如圖，為保護(hù)河上古橋，規(guī)劃建一座新橋，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：新橋與河岸垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心在線段上，并與相切的圓，且古橋兩端和到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于.經(jīng)測量，點(diǎn)位于點(diǎn)正北方向處，點(diǎn)位于點(diǎn)正東方向處（為河岸），，則新橋的長度為______. 【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得到，，設(shè)，根據(jù)條件建立關(guān)系式，從而得到，即可求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由條件知，，，因?yàn)橹本€的斜率為，又，所以直線的斜率，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，聯(lián)立，解得，故所以，，故答案為：.16.已知橢圓，過點(diǎn)且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于， 兩點(diǎn).若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線，，聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理以及的坐標(biāo)關(guān)系列方程求解即可.詳解】設(shè)直線，，則，聯(lián)立，消去得，，，又，，，即，，解得.故答案為：四、解答題：（本題共6個(gè)小題，其中17題10分，18至22題每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線過點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量為.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)方向向量及兩直線垂直求斜率再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線，最后求交點(diǎn)即可；（2）先根據(jù)點(diǎn)在線上得出直線方程，再求交點(diǎn)，最后根據(jù)兩點(diǎn)式寫出直線方程化簡為一般式即得.小問1詳解】因?yàn)椋桑瑒t，直線的方程為即.則，得頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，則，在上，即，即的方程為，則，得的坐標(biāo)為，又，所以直線的方程為,即.18.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，側(cè)棱，.（1）求的長；（2）求直線與所成角的余弦值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】利用空間向量基底法，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算法則即可得解.【小問1詳解】因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，側(cè)棱，，所以，，，，，又，所以.【小問2詳解】以作為空間的一個(gè)基底，則，，所以，，，所以，所以直線與所成角的余弦值為.19.已知圓的圓心為，且圓______.在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，填在直線上，并完成解答（注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）①與直線相切； ②與圓：相外切；③經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）圓：，是否存在實(shí)數(shù)，使得圓與圓公共弦的長度為2，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）分別根據(jù)直線與圓相切、圓與圓外切、兩點(diǎn)間距離公式求出半徑即可；（2）根據(jù)圓與圓相交的條件和圓的弦長公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)圓的半徑為，若選條件①，圓與直線相切，所以圓心到直線的距離是圓的半徑，即，所以圓的方程為.若選條件②，與圓：相外切，圓的圓心為，半徑為2，所以，所以，所以圓的方程為.若選條件③，經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，由，得，所以，所以圓的方程為.【小問2詳解】圓：的圓心為，半徑為， 兩個(gè)圓有公共弦，則，即，解得，由得兩圓公共弦所在直線方程為又兩圓的公共弦長為2，則圓心到公共弦所在直線的距離為，且，解得或，又，所以.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故存在實(shí)數(shù)，使得圓與圓公共弦的長度為2.20.如圖，己知在四棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形，，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，由，即可證明；（2）求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的公式代入即可得出答案. 【小問1詳解】以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，由，分別是的中點(diǎn)，可得：，∴，設(shè)平面的的法向量為，則有：，令，則，∴，又平面，∴平面.【小問2詳解】設(shè)平面的的法向量為，又則有：，令，則，所以 又，設(shè)直線與平面所成角為，∴，∴求直線與平面所成的角的正弦值為.21.直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記的面積為.（1）當(dāng)，時(shí)，求的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）或或或【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程求出坐標(biāo)，表示出并求取值范圍即可；（2）聯(lián)立方程，消元后借助韋達(dá)定理，弦長公式，三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，，由，解得，所以，所以，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，，所以. 【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，，由得，，，，所以，又點(diǎn)到直線的距離，由，，得，所以，所以，即，所以直線的方程為或或或.22.已知雙曲線與直線：有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸與，兩點(diǎn).點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線. 【答案】（1）（2）點(diǎn)軌跡方程為，軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長為20，虛軸長為10的雙曲線（去掉兩個(gè)頂點(diǎn)）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線和雙曲線相切求出a,b即可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）相關(guān)點(diǎn)法求出P點(diǎn)的軌跡方程即可.【小問1詳解】設(shè)：，，，可得，又因?yàn)橹本€：過，則，所以：，又因?yàn)榕c雙曲線相切，所以，，，且，即，即，（1）又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，（2）由（1）（2）式可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】 ，是雙曲線與直線的唯一公共點(diǎn)，所以，即，（3）解得，即，其中于是過點(diǎn)且與垂直的直線為，可得，，，所以將（3）式代入可得：即，其中，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長為20，虛軸長為10的雙曲線（去掉兩個(gè)頂點(diǎn)）.