猜測(cè)與證明的關(guān)系

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1、猜測(cè)與證明的關(guān)系商南縣教研室　　樊金魁一培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。推理既包括以三段論為主要形式的演繹推理，又包括以歸納、類(lèi)比為主要途徑的合情推理。這兩種推理形式無(wú)論是在數(shù)學(xué)的研究中還是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都是十分重要的。合情推理是獲得猜測(cè)提出猜想的有效途徑，演繹推理所論證的對(duì)象也往往由合情推理得來(lái)的。同時(shí)，合情推理的所得到的猜測(cè)必須經(jīng)過(guò)證明（即演繹推理）才能確定其正確性，才能認(rèn)定其為數(shù)學(xué)的事實(shí)和正確結(jié)論，這一點(diǎn)也是數(shù)學(xué)學(xué)科的特征。在以往的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，我們對(duì)邏輯論證關(guān)注的較多，在我們強(qiáng)調(diào)的基礎(chǔ)知識(shí)、技能、計(jì)算中，都表現(xiàn)出對(duì)邏輯的強(qiáng)調(diào)，即給

2、出已知條件，求證一個(gè)結(jié)論，這是演繹的方法。但我們對(duì)引導(dǎo)學(xué)生們嘗試著去推測(cè)、猜想等關(guān)注的不夠，也就是說(shuō)對(duì)歸納、類(lèi)比等合情推理強(qiáng)調(diào)的不夠。其中的原因可能是多方面的，既有主觀認(rèn)識(shí)上，也有客觀原因。但是，歸納、類(lèi)比等與創(chuàng)新的聯(lián)系是非常密切的，因此不注重歸納，就不利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，不利于創(chuàng)新型的人才的培養(yǎng)。所謂歸納，就是把一些特例所具有的特征推廣到一般的情形中去，類(lèi)比則是對(duì)于兩個(gè)事物或兩個(gè)系統(tǒng)而言的，如果它們?cè)谝恍┓矫婢哂邢嗤幕蛳嗨频男再|(zhì)，那么它們可能在其他方面也有相同的或類(lèi)似的性質(zhì)?？梢钥闯觯瑲w納和類(lèi)比與邏輯演繹不同，它們沒(méi)有固定的程序和具體的步驟，對(duì)它們

3、的理解和把握以及運(yùn)用更多的是需要學(xué)生自己去感悟和體會(huì)。因此為學(xué)生提供必要的問(wèn)題情景和探索性機(jī)會(huì)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生們親自去觀察、概括、抽象，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律并作出相應(yīng)的猜測(cè)，是十分必要的。在新課程的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，明確提出要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、猜測(cè)的過(guò)程，要重視培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。不僅如此，新課程的數(shù)學(xué)試驗(yàn)教材以及當(dāng)前的課堂教學(xué)，都重視了學(xué)生探索、猜測(cè)的過(guò)程，為學(xué)生進(jìn)行合情推理提供機(jī)會(huì)。同樣在學(xué)生的學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)中也增加了對(duì)學(xué)生通過(guò)觀察、探索、歸納、概括進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律并證明能力的考察。二在有關(guān)合情推理的教學(xué)和評(píng)價(jià)方面，廣大數(shù)學(xué)教育工作者和數(shù)學(xué)教師4通

4、過(guò)自己的努力，營(yíng)造出學(xué)生觀察、思考、探索氣氛，也編制出一些可供學(xué)生進(jìn)行這方面探索的問(wèn)題，同時(shí)也成為考察學(xué)生能力的試題。例如，如下的一道中考試題就是其中的一例。老師在黑板上寫(xiě)出三個(gè)算式，52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王凱接著又寫(xiě)出了兩個(gè)具有同樣規(guī)律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，（1）請(qǐng)你再寫(xiě)出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；（2）用文字寫(xiě)出反映上述算式的規(guī)律；（3）證明這個(gè)規(guī)律的正確性。在完成這個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程中，既包含了對(duì)所給的算式的觀察、分析，又要求在此基礎(chǔ)上的對(duì)規(guī)律的歸納和探索，

5、進(jìn)一步對(duì)規(guī)律的表示以及對(duì)此規(guī)律的數(shù)學(xué)證明。因此，筆者認(rèn)為這樣的一個(gè)問(wèn)題就實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的歸納、演繹兩個(gè)方面能力的考察。事實(shí)上，在已知條件中，五個(gè)算式分兩次給出，按照美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞的觀點(diǎn)，將前三個(gè)算式稱(chēng)之為啟發(fā)式聯(lián)想，對(duì)這三個(gè)算式的觀察與分析，能夠啟發(fā)觀察者獲得一定的認(rèn)識(shí)以及初步的規(guī)律，但這樣的認(rèn)識(shí)是模糊的；接下來(lái)的算式波利亞稱(chēng)之為支持性聯(lián)想，也就是對(duì)前面得到的較為模糊的認(rèn)識(shí)的進(jìn)一步的清晰和認(rèn)可，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是獲得了猜測(cè)的過(guò)程。接下來(lái)對(duì)第一個(gè)問(wèn)題的回答，我們可以看成是對(duì)前面的猜測(cè)進(jìn)行驗(yàn)證的過(guò)程，換一句話說(shuō)，是否能夠再舉出符合猜測(cè)的例子，抑或是否定

6、猜測(cè)的例子，當(dāng)然本問(wèn)題是要求舉出正面的例子。對(duì)第二個(gè)問(wèn)題的回答，就已經(jīng)是將猜測(cè)形式化了，第三步就是數(shù)學(xué)的證明。對(duì)于初中學(xué)生或者是小學(xué)生，通過(guò)觀察、發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律進(jìn)而獲得猜測(cè)是可能做到的，但是要證明這個(gè)猜測(cè)的正確性有時(shí)就是學(xué)生們力所不能及得了。例如，計(jì)算21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，…。歸納各計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，猜測(cè)22006-1的個(gè)位數(shù)字是（）。對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，對(duì)觀察到的結(jié)果的猜測(cè)是可以做到的，但是證明則不是本階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所要求得了。那么，需要我們思考的是，這樣的猜測(cè)意義何在？學(xué)會(huì)進(jìn)行冪的計(jì)算，然后觀

7、察出個(gè)位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律，并利用被自然數(shù)n除模的概念推測(cè)出結(jié)論，僅此而已，對(duì)結(jié)論的驗(yàn)證只能是再多計(jì)算幾個(gè)式子，而證明在初中階段就不在要求之列了。因此，這樣的問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)容易形成固定的模式，4缺少了一定的挑戰(zhàn)性，歸納的味道也不足。與之相比，有些為學(xué)生提供的探索規(guī)律、歸納概括的問(wèn)題情景還存在著一些其他學(xué)科方面的問(wèn)題。例如，某公園的側(cè)門(mén)口有九級(jí)臺(tái)階，小明一步只能上1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)臺(tái)階數(shù)分別為1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)、4級(jí)、5級(jí)、6級(jí)、7級(jí)……逐漸增加時(shí)，上臺(tái)階不同方法的種數(shù)依次為1、2、3、5、8、13、21、……，這就是著名的菲波那契數(shù)列，那么小聰上

8、這九級(jí)臺(tái)階共有種不同的方法。實(shí)際上，這是一個(gè)非常富有探索和推理的問(wèn)題，但由于出題者僅僅將問(wèn)題局