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1、猜測與證明的關系商南縣教研室 樊金魁一培養(yǎng)學生的推理能力是數(shù)學教育的重要目標之一。推理既包括以三段論為主要形式的演繹推理，又包括以歸納、類比為主要途徑的合情推理。這兩種推理形式無論是在數(shù)學的研究中還是在數(shù)學的學習中都是十分重要的。合情推理是獲得猜測提出猜想的有效途徑，演繹推理所論證的對象也往往由合情推理得來的。同時，合情推理的所得到的猜測必須經過證明（即演繹推理）才能確定其正確性，才能認定其為數(shù)學的事實和正確結論，這一點也是數(shù)學學科的特征。在以往的數(shù)學教育教學中，我們對邏輯論證關注的較多，在我們強調的基礎知識、技能、計算中，都表現(xiàn)出對邏輯的強調，即給
2、出已知條件，求證一個結論，這是演繹的方法。但我們對引導學生們嘗試著去推測、猜想等關注的不夠，也就是說對歸納、類比等合情推理強調的不夠。其中的原因可能是多方面的，既有主觀認識上，也有客觀原因。但是，歸納、類比等與創(chuàng)新的聯(lián)系是非常密切的，因此不注重歸納，就不利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，不利于創(chuàng)新型的人才的培養(yǎng)。所謂歸納，就是把一些特例所具有的特征推廣到一般的情形中去，類比則是對于兩個事物或兩個系統(tǒng)而言的，如果它們在一些方面具有相同的或相似的性質，那么它們可能在其他方面也有相同的或類似的性質?？梢钥闯觯瑲w納和類比與邏輯演繹不同，它們沒有固定的程序和具體的步驟，對它們
3、的理解和把握以及運用更多的是需要學生自己去感悟和體會。因此為學生提供必要的問題情景和探索性機會，在解決問題的過程中，讓學生們親自去觀察、概括、抽象，進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律并作出相應的猜測，是十分必要的。在新課程的數(shù)學課程標準中，明確提出要讓學生經歷觀察、試驗、猜測的過程，要重視培養(yǎng)學生的合情推理能力。不僅如此，新課程的數(shù)學試驗教材以及當前的課堂教學，都重視了學生探索、猜測的過程，為學生進行合情推理提供機會。同樣在學生的學業(yè)評價中也增加了對學生通過觀察、探索、歸納、概括進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律并證明能力的考察。二在有關合情推理的教學和評價方面，廣大數(shù)學教育工作者和數(shù)學教師4通
4、過自己的努力，營造出學生觀察、思考、探索氣氛，也編制出一些可供學生進行這方面探索的問題，同時也成為考察學生能力的試題。例如，如下的一道中考試題就是其中的一例。老師在黑板上寫出三個算式，52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王凱接著又寫出了兩個具有同樣規(guī)律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，（1）請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；（2）用文字寫出反映上述算式的規(guī)律；（3）證明這個規(guī)律的正確性。在完成這個問題的解答過程中，既包含了對所給的算式的觀察、分析，又要求在此基礎上的對規(guī)律的歸納和探索，
5、進一步對規(guī)律的表示以及對此規(guī)律的數(shù)學證明。因此，筆者認為這樣的一個問題就實現(xiàn)了對學生的歸納、演繹兩個方面能力的考察。事實上，在已知條件中，五個算式分兩次給出，按照美國數(shù)學教育家波利亞的觀點，將前三個算式稱之為啟發(fā)式聯(lián)想，對這三個算式的觀察與分析，能夠啟發(fā)觀察者獲得一定的認識以及初步的規(guī)律，但這樣的認識是模糊的；接下來的算式波利亞稱之為支持性聯(lián)想，也就是對前面得到的較為模糊的認識的進一步的清晰和認可，這個過程實際上就是獲得了猜測的過程。接下來對第一個問題的回答，我們可以看成是對前面的猜測進行驗證的過程，換一句話說，是否能夠再舉出符合猜測的例子，抑或是否定
6、猜測的例子，當然本問題是要求舉出正面的例子。對第二個問題的回答，就已經是將猜測形式化了，第三步就是數(shù)學的證明。對于初中學生或者是小學生，通過觀察、發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律進而獲得猜測是可能做到的，但是要證明這個猜測的正確性有時就是學生們力所不能及得了。例如，計算21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，…。歸納各計算結果中的個位數(shù)字的規(guī)律，猜測22006-1的個位數(shù)字是（）。對于初中生來說，對觀察到的結果的猜測是可以做到的，但是證明則不是本階段數(shù)學學習所要求得了。那么，需要我們思考的是，這樣的猜測意義何在？學會進行冪的計算，然后觀
7、察出個位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律，并利用被自然數(shù)n除模的概念推測出結論，僅此而已，對結論的驗證只能是再多計算幾個式子，而證明在初中階段就不在要求之列了。因此，這樣的問題對學生來說容易形成固定的模式，4缺少了一定的挑戰(zhàn)性，歸納的味道也不足。與之相比，有些為學生提供的探索規(guī)律、歸納概括的問題情景還存在著一些其他學科方面的問題。例如，某公園的側門口有九級臺階，小明一步只能上1級臺階或2級臺階，小明發(fā)現(xiàn)當臺階數(shù)分別為1級、2級、3級、4級、5級、6級、7級……逐漸增加時，上臺階不同方法的種數(shù)依次為1、2、3、5、8、13、21、……，這就是著名的菲波那契數(shù)列，那么小聰上
8、這九級臺階共有種不同的方法。實際上，這是一個非常富有探索和推理的問題，但由于出題者僅僅將問題局
