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1、第十一章反常積分§1反常積分的概念(一)教學(xué)目的：掌握反常積分的定義和計算方法．(二)教學(xué)內(nèi)容：無窮積分；瑕積分．基本要求：掌握無窮積分與瑕積分的定義與計算方法．(三)教學(xué)建議：講清反常積分是變限積分的極限教學(xué)要點——————————————————————————§1反常積分概念一問題的提出例1（第二宇宙速度問題）在地球表面初值發(fā)射火箭，要是火箭克服地球引力，無限遠(yuǎn)離地球，問初速度至少多大？解設(shè)地球半徑為，火箭質(zhì)量為地面重力加速度為，有萬有引力定理，在距地心處火箭受到的引理為于是火箭上升到距地心處需要做到功為當(dāng)時，其極限就是火箭無限遠(yuǎn)離地球需要作的功再由能量守恒定
2、律，可求得處速度至少應(yīng)使OxOh例2從盛滿水開始打開小孔，問需多長時間才能把桶里水全部放完？解由物理學(xué)知識知道，（在不計摩擦情況下），桶里水位高度為時，水從小孔里流出的速度為設(shè)在很短一段時間內(nèi)，桶里水面降低的高度為，則有下面關(guān)系：由此得所以流完一桶水所需的時間應(yīng)為但是，被積函數(shù)在上是無界函數(shù)，，所一我們?nèi)∠鄬τ谝郧皩W(xué)習(xí)的定積分（正常積分），我們把這里的積分叫做反常積分。二兩類反常積分的定義無窮限反常積分的定義，.a無窮限反常積分幾何意義例1⑴討論積分,,的斂散性.⑵計算積分.例2討論以下積分的斂散性:⑴;⑵.例3討論積分的斂散性.二.瑕積分:（先介紹函數(shù)的瑕點）1.
3、瑕積分的定義:以點為瑕點給出定義.然后就點為瑕點、點為瑕點以及有多個瑕點的情況給出說明.例9判斷積分的斂散性.例10討論瑕積分的斂散性,并討論積分的斂散性.2.瑕積分與無窮積分的關(guān)系:設(shè)函數(shù)連續(xù),為瑕點.有,2.把瑕積分化成了無窮積分;設(shè),有，把無窮積分化成了瑕積分.可見,瑕積分與無窮積分可以互化.因此,它們有平行的理論和結(jié)果.例11證明瑕積分當(dāng)時收斂.證明,由例6,該積分當(dāng)時收斂.§2無窮積分的性質(zhì)與收斂判別(一)教學(xué)目的：掌握無窮積分的性質(zhì)與收斂判別準(zhǔn)則．(二)教學(xué)內(nèi)容：無窮積分的收斂；條件收斂；絕對收斂；比較判別法；柯西判別法；狄利克雷判別法；阿貝爾判別法．(
4、1)基本要求：掌握無窮積分與瑕積分的定義，會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性．(2)較高要求：掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．(三)教學(xué)建議：(1)本節(jié)的重點是掌握判別無窮積分與瑕積分收斂的方法，要求學(xué)生主要學(xué)會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性．(2)本節(jié)的難點是用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性，對較好學(xué)生布置這方面的習(xí)題．(2)舉例說明：當(dāng)收斂時，不一定有，由此使學(xué)生對柯西準(zhǔn)則有進(jìn)一步的理解．一無窮積分的性質(zhì):⑴在區(qū)間上可積,—Const,則函數(shù)在區(qū)上可積,且.⑵和在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積,且.⑶無窮積分收斂的Cauc
5、hy準(zhǔn)則:(翻譯)Th積分收斂.⑷絕對收斂與條件收斂:定義概念.絕對收斂收斂,(證)但反之不確.絕對型積分與非絕對型積分.3.無窮積分判斂法:非負(fù)函數(shù)無窮積分判斂法:對非負(fù)函數(shù),有↗.非負(fù)函數(shù)無窮積分?jǐn)可⑿杂浄?⑴比較判斂法:設(shè)在區(qū)間上函數(shù)和非負(fù)且，又對任何>,和在區(qū)間上可積.則<,<；,.(證)例4判斷積分的斂散性.比較原則的極限形式:設(shè)在區(qū)間上函數(shù),.則ⅰ><<,與共斂散:ⅱ>,<時,<；ⅲ>,時,.(證)⑵Cauchy判斂法:(以為比較對象,即取.以下>0)設(shè)對任何>,,且,<；若且,.Cauchy判斂法的極限形式:設(shè)是在任何有限區(qū)間上可積的正值函數(shù)，且.則ⅰ
6、><；ⅱ>.(證)例5討論以下無窮積分的斂散性:ⅰ>ⅱ>⑶其他判斂法:Abel判斂法:若在區(qū)間上可積,單調(diào)有界,則積分收斂.Dirichlet判斂法:設(shè)在區(qū)間上有界，在上單調(diào)，且當(dāng)時，.則積分收斂.例6討論無窮積分與的斂散性.例7證明下列無窮積分收斂,且為條件收斂:,,.例8(乘積不可積的例)設(shè),.由例6的結(jié)果,積分收斂.但積分卻發(fā)散.(參閱例6)§3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別:Th(比較原則)推論1(Cauchy判別法)推論2(Cauchy判別法的極限形式)例12判別下列瑕積分的斂散性:⑴(注意被積函數(shù)非正).⑵.例13討論非正常積分的斂散性.[1]P330E13§4
7、C—R積分與R積分的差異:1.R,在上;但在區(qū)間上可積,在區(qū)間上有界.例如函數(shù)2.R,
8、
9、R,但反之不確.R積分是絕對型積分.
10、
11、在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積,但反之不確.C—R積分是非絕對型積分.3.,R,R;但和在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積.可見,在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積.
