數(shù)列遞推關(guān)系的研究

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1、數(shù)列遞推關(guān)系的研究對數(shù)列遞推關(guān)系的考查，是高考試題中的常見題型，大致從以下幾個角度考查：一、周期數(shù)列，根據(jù)遞推關(guān)系可以寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)周期，多在小題中出現(xiàn)。例1．若數(shù)列滿足且,則________分析：由遞推關(guān)系有，可知計(jì)算下去，數(shù)列的周期為5，從而。例2．（湖南卷）已知數(shù)列滿足，則=________分析：由遞推關(guān)系有可得數(shù)列的周期為3，從而。當(dāng)然本題可以類比三角公式，令，寫出一個通項(xiàng)公式，從而得。二、考查an與Sn的相互轉(zhuǎn)化。我們知道an=，在實(shí)際解題過程中，要靈活運(yùn)用這個遞推關(guān)系。例3．設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足：,則數(shù)列的通項(xiàng)公式=_

2、_______分析：作為小題可以通過寫出前幾項(xiàng)，然后歸納出通項(xiàng)，再代入遞推關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)。而常規(guī)做法是消去遞推關(guān)系中的。由，可得，兩式相減后有an+1-an=2,可知數(shù)列為公差是2的等差數(shù)列，再求出首項(xiàng)即可。例4．（2004全國）數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，已知證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列，（2）分析：由題目所求我們應(yīng)該知道要消去的是an+1，因此應(yīng)用an=后有，從而（1）得證。（2）略。由上述兩例我們知道在用該遞推公式時要注意題目的要求是從左向右，還是從右向左。我們還要注意起始項(xiàng)是第幾項(xiàng)，很多時候并不是從第一項(xiàng)開始的。請看：例5．設(shè)滿足：（），若，則_____

3、____分析：這實(shí)際是變相的考查該遞推公式，因?yàn)?，那么，兩式相減作差有，可以發(fā)現(xiàn)本題和例4是同一個題型，但是注意要從第2項(xiàng)開始。三、通過將遞推關(guān)系適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列。例6．（2009重慶卷理）設(shè)，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=．分析：作為小題可以求出前幾項(xiàng)，然后找出規(guī)律。一般地，我們尋找相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，直接由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則。例7．已知數(shù)列中，a＝－1，a·a＝a－a，則數(shù)列通項(xiàng)a＝___________分析：根據(jù)式子的特征，兩邊同時除以2次項(xiàng)a·a，有，數(shù)列{}為等差數(shù)列，問題迎刃而解。例8．已知數(shù)列中，求數(shù)列的

4、通項(xiàng)公式.分析：由遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即所以.故遞推公式為令，則且所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則所以或者也可以這樣處理由已知遞推式得，，兩式相減得，，設(shè)，則，且，所以，即，所以兩個方法都是解決an+1=pan+q這類題型的常規(guī)辦法，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列來處理，但入手點(diǎn)確實(shí)是不一樣的，值得我們思考。例9．（2006江西文22）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足：，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù)．分析：（1）觀察式子的次數(shù)和系數(shù)的特征，類比例7，兩邊同時除以2次項(xiàng)a·a，立得，因此｛｝為一個等比數(shù)列，其公比為2，首項(xiàng)為，所

5、以＝因an>0，由1°式解出an＝。（2）略。數(shù)列對遞推關(guān)系的考查還有累加，累乘等大家熟悉的題型，不再贅述，以上數(shù)例，不能說明所有問題，僅作拋磚引玉。