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《遞推數(shù)列研究》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、遞推數(shù)列的研究先看一個(gè)問題：有一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法?常規(guī)的思路是窮舉法，但窮舉法過于繁雜，不易得到正確的結(jié)果。其實(shí)，本題有另一種巧妙的解法：最后走到第十階，可能是從第八階直接上去，也可以從第九階上去，設(shè)上n級(jí)樓梯的走法是an，則an的值與等于an-1與an-2的值的和，得到關(guān)于走法的關(guān)系式an=an-1+an-2，這樣可以計(jì)算出任意臺(tái)階數(shù)的題目．a(chǎn)n=an-1+an-2,這就是著名的費(fèi)波拉契數(shù)列。這是數(shù)學(xué)史上最有名的一個(gè)遞推數(shù)列。關(guān)于它，有許多奇妙的性質(zhì)。如：每3個(gè)數(shù)
2、有且只有一個(gè)被2整除，每4個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被3整除，每5個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被5整除，每6個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被8整除，每7個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被13整除，每8個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被21整除，每9個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被34整除，....... 我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素?cái)?shù)：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）。斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點(diǎn)數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達(dá)與那些葉子正對(duì)的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從
3、一個(gè)位置到達(dá)下一個(gè)正對(duì)的位置稱為一個(gè)循回。葉子在一個(gè)循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個(gè)循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。那么，斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么呢？可以通過以下推導(dǎo)而來：推導(dǎo)方法一：利用特征方程線性遞推數(shù)列的特征方程為：解得.則.解得推導(dǎo)方法二：待定系數(shù)法設(shè)常數(shù)，使得.則n≥3時(shí)，有將以上n-2個(gè)式子相乘，得：上式可化簡(jiǎn)為：的一解為其實(shí)，第一種方法可以用來解大多數(shù)常系數(shù)線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，其思想，是化歸為一個(gè)新的，可以求通項(xiàng)公式的數(shù)列，再代入
4、。遞推數(shù)列博大精深，其應(yīng)用更是廣泛。甚至可以應(yīng)用在社會(huì)文明中。如艾略特波浪理論就是以費(fèi)波拉契數(shù)列為基礎(chǔ)的。費(fèi)波拉契數(shù)列只是遞推數(shù)列的冰山一角，除了費(fèi)波拉契數(shù)列，我國(guó)的大衍數(shù)列也是很有名的。來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論。如圖：主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理。數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和。是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題。 通項(xiàng)公式為an=?·（n2-1）此時(shí)n為奇數(shù)an=?·n2此時(shí)n為偶數(shù)除此之外，遞推數(shù)列在生產(chǎn)，生活中有著極為廣泛的應(yīng)用。遞推數(shù)列的應(yīng)用
5、遠(yuǎn)比你想象的要廣泛。費(fèi)波拉契數(shù)：費(fèi)波拉契數(shù)列中的數(shù)特征方程：特征方程是把遞推式中的這些數(shù)列變量項(xiàng)an+1，an-1全都換成X，得到的一元方程，特征方程的解就是判斷數(shù)列通項(xiàng)形式的依據(jù)。常系數(shù)線性遞推數(shù)列：形如an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+...+ckan+f(n)。數(shù)列｛an｝稱為k階常系數(shù)線性遞推數(shù)列艾略特波浪理論：美國(guó)證券分析家拉爾夫?.納爾遜?.艾略特（R.N.Elliott）利用道瓊斯工業(yè)指數(shù)平均（DowJonesIndustrialAverage，DJIA）作為研究工具，發(fā)現(xiàn)不斷變化的股價(jià)結(jié)構(gòu)性形態(tài)反映了自
6、然和諧之美。甚至有人用它計(jì)算未來，誤差只在0~50年間！參考資料：百度百科費(fèi)波拉契數(shù)列百度百科大衍數(shù)列《奧數(shù)教程》高一年級(jí)華東師范大學(xué)出版社撰著者：王建東
