協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

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1、如何通俗易懂地解釋「協(xié)方差」與「相關(guān)系數(shù)」的概念？其背后的原理為何可以達(dá)到衡量「相關(guān)性」的效果？1條評(píng)論?分享5個(gè)回答傅渥成?，統(tǒng)計(jì)物理/復(fù)雜系統(tǒng)/生物物理184?人贊同看到這個(gè)問(wèn)題，馬上想到我那天回答的另一個(gè)問(wèn)題了。我們?cè)诳坍?huà)這個(gè)世界之間的各種關(guān)系的時(shí)候，常常會(huì)希望度量“距離”：1.對(duì)于空間中的兩個(gè)點(diǎn)，我們可以用勾股定理定義平方和作為距離；2.對(duì)于兩個(gè)二進(jìn)制序列，或者兩段基因序列，我們可以用漢明距離來(lái)度量二者之間的差異，作為“距離”；3.那么假如對(duì)于兩個(gè)復(fù)雜的量（描述這兩個(gè)量可能用很多很多的參數(shù)），那

2、么這時(shí)候怎樣度量二者之間的“相關(guān)性”呢？按照真正的邏輯順序來(lái)講，應(yīng)該是這樣講的：?把所有的這些復(fù)雜的參數(shù)排成一列，就拍成了一個(gè)向量，很多很多的這樣的向量構(gòu)成了一個(gè)向量空間。向量空間里面的東西沒(méi)有“距離”這樣的概念，對(duì)于一個(gè)向量空間里面的向量，甚至沒(méi)有“長(zhǎng)度”這樣的概念，因?yàn)橄蛄靠臻g只是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，沒(méi)有度量或者拓?fù)涞母拍钤谄渲?，那這時(shí)候怎樣度量向量的長(zhǎng)度來(lái)呢？接下來(lái)，又怎樣來(lái)確定兩個(gè)向量之間的“距離”呢？對(duì)于一個(gè)可以定義距離的結(jié)構(gòu)（度量空間），我們需要有一些要求，認(rèn)為滿(mǎn)足這些要求的一個(gè)函數(shù)就可以認(rèn)為是距

3、離，例如我們要求：A到B的距離等于B到A的距離，A到A的距離等于0，兩個(gè)點(diǎn)之間的距離非負(fù)，三角不等式。那么對(duì)于一個(gè)向量空間，怎樣可以最自然地給它一個(gè)“范數(shù)”，使得它有可能推廣到一個(gè)距離空間（度量空間）呢？最自然的方法就是引入“內(nèi)積”的概念了，通過(guò)內(nèi)積的運(yùn)算，得到內(nèi)積空間，再用內(nèi)積來(lái)定義距離（范數(shù)），于是也就有可能得到距離空間。?為什么內(nèi)積空間可以變成一個(gè)度量空間呢？這就是我在“學(xué)一門(mén)課的時(shí)候，要注意理解和思考，不要一味的背公式，背習(xí)題是什么意思？”這個(gè)問(wèn)題里面，我反復(fù)用到了Cauchy不等式，目的也正在

4、此。Cauchy不等式為我們提供了判斷兩個(gè)向量是否相關(guān)的方案：(a?b)/

5、a

6、

7、b

8、可以作為度量相關(guān)性的一個(gè)函數(shù)，而它的直觀意義是什么，請(qǐng)看下面?！@是一條分割線——————————————好了，截止到目前，都是我認(rèn)為一個(gè)比較正常，且不算太難的一種解釋的方法，如果覺(jué)得這樣理解起來(lái)還有困難，那么接下來(lái)就只能用能讓中學(xué)生聽(tīng)懂的，最直觀的方法了，但是我并不喜歡這樣直觀的講法，因?yàn)檫@個(gè)講法的邏輯是很混亂的，事先就引入了很多不應(yīng)該過(guò)早引入的概念，不過(guò)為了幫助理解，也就這樣吧：·有兩個(gè)向量

9、，我們希望定義它們是不是相關(guān)。一個(gè)很自然的想法，用向量與向量的夾角來(lái)作為距離的定義，夾角小，就距離小，夾角大，就距離大?！さ窃鯓觼?lái)計(jì)算夾角呢？為了讓這種計(jì)算可行，我們要選一種恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)來(lái)算。·正弦函數(shù)的不太好的一個(gè)原因是因?yàn)榧由蟼€(gè)90°，正弦算出來(lái)得到的結(jié)果一樣，而兩個(gè)向量的夾角是30°還是120°這是完全的兩碼事，此外，正弦函數(shù)也不適合推廣到高維度向量的計(jì)算中的“兩兩比較”。·那么考慮用余弦吧，這個(gè)可以很方便地區(qū)分30°和120°，而且還有一個(gè)好處——余弦的計(jì)算非常簡(jiǎn)單，用內(nèi)積就可以計(jì)算了，中學(xué)

10、數(shù)學(xué)中就學(xué)過(guò)：(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2，這就是內(nèi)積，你要是喜歡，也可以把這個(gè)叫做“協(xié)方差”?！さ沁@個(gè)內(nèi)積的定義很奇怪哎？要是兩個(gè)向量本身就長(zhǎng)，那這個(gè)也算不出夾角來(lái)，所以再要除以?xún)蓚€(gè)向量本身的長(zhǎng)度，即，夾角：cos=(a?b)/

11、a

12、

13、b

14、;·這樣，那么兩個(gè)量是不是相關(guān)，怎么來(lái)判斷？就用余弦的大小就可以了，我們把兩個(gè)向量的夾角的余弦，就叫做“相關(guān)系數(shù)”，正如上面的式子所指出的，寫(xiě)開(kāi)了就是：分子上面的就是一個(gè)內(nèi)積的計(jì)算，也就是前面我說(shuō)的“協(xié)方差”，分子下面是兩個(gè)勾股定

15、理乘起來(lái)，是兩個(gè)向量的長(zhǎng)度。如果兩個(gè)向量平行，則它們夾角的余弦（也就是“相關(guān)系數(shù)”）就等于1或者-1，同向的時(shí)候是1，反向的時(shí)候就是-1。如果兩個(gè)向量垂直，則夾角的余弦就等于0，說(shuō)明二者不相關(guān)?！ぴ賹?xiě)我都不好意思了，我覺(jué)得這樣應(yīng)該很容易就可以懂了……184?編輯于2013-03-15?37條評(píng)論?感謝?更多???作者保留權(quán)利GerYoung?，EE2CS攝影/籃球/音樂(lè)愛(ài)好者65?人贊同協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)是緊密相關(guān)的，二者都是用來(lái)描述兩個(gè)連續(xù)變量的線性相關(guān)關(guān)系。本答案先簡(jiǎn)要闡述相關(guān)概念，再具體闡述幾何上的

16、理解，最后提出一點(diǎn)個(gè)人看法。簡(jiǎn)要闡述如下：一.協(xié)方差只表示線性相關(guān)的方向，取值正無(wú)窮到負(fù)無(wú)窮。也就是說(shuō)，協(xié)方差為正值，說(shuō)明一個(gè)變量變大另一個(gè)變量也變大；取負(fù)值說(shuō)明一個(gè)變量變大另一個(gè)變量變小，取0說(shuō)明兩個(gè)變量沒(méi)有相關(guān)關(guān)系。注意：協(xié)方差的絕對(duì)值不反映線性相關(guān)的程度（其絕對(duì)值與變量的取值范圍有關(guān)系）。二.相關(guān)系數(shù)不僅表示線性相關(guān)的方向，還表示線性相關(guān)的程度，取值[-1,1]。也就是說(shuō)，相關(guān)系數(shù)為正值，說(shuō)明一個(gè)變量變大另一個(gè)變量也變大；取負(fù)值說(shuō)明一