協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

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1、如何通俗易懂地解釋「協(xié)方差」與「相關(guān)系數(shù)」的概念？其背后的原理為何可以達(dá)到衡量「相關(guān)性」的效果？1條評論?分享5個回答傅渥成?，統(tǒng)計物理/復(fù)雜系統(tǒng)/生物物理184?人贊同看到這個問題，馬上想到我那天回答的另一個問題了。我們在刻畫這個世界之間的各種關(guān)系的時候，常常會希望度量“距離”：1.對于空間中的兩個點，我們可以用勾股定理定義平方和作為距離；2.對于兩個二進(jìn)制序列，或者兩段基因序列，我們可以用漢明距離來度量二者之間的差異，作為“距離”；3.那么假如對于兩個復(fù)雜的量（描述這兩個量可能用很多很多的參數(shù)），那

2、么這時候怎樣度量二者之間的“相關(guān)性”呢？按照真正的邏輯順序來講，應(yīng)該是這樣講的：?把所有的這些復(fù)雜的參數(shù)排成一列，就拍成了一個向量，很多很多的這樣的向量構(gòu)成了一個向量空間。向量空間里面的東西沒有“距離”這樣的概念，對于一個向量空間里面的向量，甚至沒有“長度”這樣的概念，因為向量空間只是一個代數(shù)結(jié)構(gòu)，沒有度量或者拓?fù)涞母拍钤谄渲?，那這時候怎樣度量向量的長度來呢？接下來，又怎樣來確定兩個向量之間的“距離”呢？對于一個可以定義距離的結(jié)構(gòu)（度量空間），我們需要有一些要求，認(rèn)為滿足這些要求的一個函數(shù)就可以認(rèn)為是距

3、離，例如我們要求：A到B的距離等于B到A的距離，A到A的距離等于0，兩個點之間的距離非負(fù)，三角不等式。那么對于一個向量空間，怎樣可以最自然地給它一個“范數(shù)”，使得它有可能推廣到一個距離空間（度量空間）呢？最自然的方法就是引入“內(nèi)積”的概念了，通過內(nèi)積的運算，得到內(nèi)積空間，再用內(nèi)積來定義距離（范數(shù)），于是也就有可能得到距離空間。?為什么內(nèi)積空間可以變成一個度量空間呢？這就是我在“學(xué)一門課的時候，要注意理解和思考，不要一味的背公式，背習(xí)題是什么意思？”這個問題里面，我反復(fù)用到了Cauchy不等式，目的也正在

4、此。Cauchy不等式為我們提供了判斷兩個向量是否相關(guān)的方案：(a?b)/

5、a

6、

7、b

8、可以作為度量相關(guān)性的一個函數(shù)，而它的直觀意義是什么，請看下面。—————————————這是一條分割線——————————————好了，截止到目前，都是我認(rèn)為一個比較正常，且不算太難的一種解釋的方法，如果覺得這樣理解起來還有困難，那么接下來就只能用能讓中學(xué)生聽懂的，最直觀的方法了，但是我并不喜歡這樣直觀的講法，因為這個講法的邏輯是很混亂的，事先就引入了很多不應(yīng)該過早引入的概念，不過為了幫助理解，也就這樣吧：·有兩個向量

9、，我們希望定義它們是不是相關(guān)。一個很自然的想法，用向量與向量的夾角來作為距離的定義，夾角小，就距離小，夾角大，就距離大?！さ窃鯓觼碛嬎銑A角呢？為了讓這種計算可行，我們要選一種恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)來算?！ふ液瘮?shù)的不太好的一個原因是因為加上個90°，正弦算出來得到的結(jié)果一樣，而兩個向量的夾角是30°還是120°這是完全的兩碼事，此外，正弦函數(shù)也不適合推廣到高維度向量的計算中的“兩兩比較”?！つ敲纯紤]用余弦吧，這個可以很方便地區(qū)分30°和120°，而且還有一個好處——余弦的計算非常簡單，用內(nèi)積就可以計算了，中學(xué)

10、數(shù)學(xué)中就學(xué)過：(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2，這就是內(nèi)積，你要是喜歡，也可以把這個叫做“協(xié)方差”。·但是這個內(nèi)積的定義很奇怪哎？要是兩個向量本身就長，那這個也算不出夾角來，所以再要除以兩個向量本身的長度，即，夾角：cos=(a?b)/

11、a

12、

13、b

14、;·這樣，那么兩個量是不是相關(guān)，怎么來判斷？就用余弦的大小就可以了，我們把兩個向量的夾角的余弦，就叫做“相關(guān)系數(shù)”，正如上面的式子所指出的，寫開了就是：分子上面的就是一個內(nèi)積的計算，也就是前面我說的“協(xié)方差”，分子下面是兩個勾股定

15、理乘起來，是兩個向量的長度。如果兩個向量平行，則它們夾角的余弦（也就是“相關(guān)系數(shù)”）就等于1或者-1，同向的時候是1，反向的時候就是-1。如果兩個向量垂直，則夾角的余弦就等于0，說明二者不相關(guān)?！ぴ賹懳叶疾缓靡馑剂耍矣X得這樣應(yīng)該很容易就可以懂了……184?編輯于2013-03-15?37條評論?感謝?更多???作者保留權(quán)利GerYoung?，EE2CS攝影/籃球/音樂愛好者65?人贊同協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)是緊密相關(guān)的，二者都是用來描述兩個連續(xù)變量的線性相關(guān)關(guān)系。本答案先簡要闡述相關(guān)概念，再具體闡述幾何上的

16、理解，最后提出一點個人看法。簡要闡述如下：一.協(xié)方差只表示線性相關(guān)的方向，取值正無窮到負(fù)無窮。也就是說，協(xié)方差為正值，說明一個變量變大另一個變量也變大；取負(fù)值說明一個變量變大另一個變量變小，取0說明兩個變量沒有相關(guān)關(guān)系。注意：協(xié)方差的絕對值不反映線性相關(guān)的程度（其絕對值與變量的取值范圍有關(guān)系）。二.相關(guān)系數(shù)不僅表示線性相關(guān)的方向，還表示線性相關(guān)的程度，取值[-1,1]。也就是說，相關(guān)系數(shù)為正值，說明一個變量變大另一個變量也變大；取負(fù)值說明一