方差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

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1、§2方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)?一、方差二、協(xié)方差三、相關(guān)系數(shù)四、矩?一、方差例1例1?????????????????????比較甲乙兩人的射擊技術(shù)，已知兩人每次擊中環(huán)數(shù)分布為：：.問哪一個技術(shù)較好？首先看兩人平均擊中環(huán)數(shù)，此時，從均值來看無法分辯孰優(yōu)孰劣.但從直觀上看，甲基本上穩(wěn)定在8環(huán)左右，而乙卻一會兒擊中10環(huán)，一會兒擊中6環(huán)，較不穩(wěn)定.因此從直觀上可以講甲的射擊技術(shù)較好.上例說明：對一隨機變量，除考慮它的平均取值外，還要考慮它取值的離散程度.稱-為隨機變量對于均值的離差(deviation)，它是一隨機變量.為了給出一個描述離散

2、程度的數(shù)值，考慮用，但由于==0對一切隨機變量均成立，即的離差正負相消，因此用是不恰當(dāng)?shù)?我們改用描述取值的離散程度，這就是方差.定義1若存在，為有限值，就稱它是隨機變量的方差(variance)，記作Var,Var=(1)但Var的量綱與不同，為了統(tǒng)一量綱，有時用，稱為的標準差(standarddeviation).方差是隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，由§1的(5)式，即可寫出方差的計算公式Var==(2)進一步，注意到==即有Var=.(3)許多情況，用(3)式計算方差較方便些.例1(續(xù))計算例1中的方差Var與Var.解利用(3)式=

3、=×0.1+×0.8+×0.1=64.2,Var==64.2--=0.2.同理,Var==65.2-64=1.2>Var,所以取值較分散.這說明甲的射擊技術(shù)較好.例2試計算泊松分布P(λ)的方差.解所以Var.例3設(shè)服從[a,b]上的均勻分布U[a,b]，求Var.解,Var.例4設(shè)服從正態(tài)分布，求Var.解此時用公式(2)，由于,Var.可見正態(tài)分布中參數(shù)就是它的方差,就是標準差.方差也有若干簡單而重要的性質(zhì).先介紹一個不等式.切貝雪夫(Chebyshev)不等式若隨機變量的方差存在，則對任意給定的正數(shù)ε，恒有.(4)證設(shè)的分布函數(shù)

4、為，則==/.這就得(4)式.切貝雪夫不等式無論從證明方法上還是從結(jié)論上都有一定意義.事實上，該式斷言落在與內(nèi)的概率小于等于/，或者說，落在區(qū)間內(nèi)的概率大于1-/，從而只用數(shù)學(xué)期望和方差就可對上述概率進行估計.例如，取ε=3，則≈0.89.當(dāng)然這個估計還是比較粗糙的（當(dāng)～時，在第二章曾經(jīng)指出,P(

5、ξ-

6、3)=P(

7、ξ-

8、3σ)≈0.997).性質(zhì)1=0的充要條件是P(ξ=c)=1，其中c是常數(shù).證顯然條件充分.反之，如果=0，記=c,由切貝雪夫不等式,P(

9、ξ-

10、ε)=0對一切正數(shù)ε成立.從而.性質(zhì)2設(shè)c,b都是常數(shù)，則Var(+b

11、)=.(5)證Var(+b)=E(+b-E(+b)=E(+b-c-b==.性質(zhì)3若,則.證因=E-,而E(ξ-c=E-2c+,兩邊相減得.這說明隨機變量ξ對數(shù)學(xué)期望的離散度最小.性質(zhì)4=+2(6)特別若兩兩獨立，則=.(7)證Var(=E(-E(=E=E=+2,得證(6)式成立.當(dāng)兩兩獨立時，對任何有，故E=E(=E=0,這就得證(7)式成立.利用這些性質(zhì)，可簡化某些隨機變量方差的計算.例5設(shè)ξ服從二項分布B(n,p),求.解如§1例12構(gòu)造,,它們相互獨立同分布，此時Var=pq.由于相互獨立必是兩兩獨立的，由性質(zhì)4.例6例6???

12、??????設(shè)隨機變量相互獨立同分布,,Var=,().記=,求,.解由§1性質(zhì)2和本節(jié)性質(zhì)2和4有,.這說明在獨立同分布時，作為各的算術(shù)平均，它的數(shù)學(xué)期望與各的數(shù)學(xué)期望相同，但方差只有的1/n倍.這一事實在數(shù)理統(tǒng)計中有重要意義.例7設(shè)隨機變量ξ的期望與方差都存在,.令,稱它為隨機變量ξ的標準化.求與Var.解由均值與方差的性質(zhì)可知,.?二、協(xié)方差數(shù)學(xué)期望和方差反映了隨機變量的分布特征.對于隨機向量,除去各分量的期望和方差外，還有表示各分量間相互關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差.定義2記和的聯(lián)合分布函數(shù)為.若，就稱(8)為的協(xié)方差(covar

13、iance)，記作Cov().顯然，.公式(6)可改寫為Var()+2.容易驗證，協(xié)方差有如下性質(zhì)：性質(zhì)1Cov()=Cov().性質(zhì)2設(shè)是常數(shù)，則.性質(zhì)3.對于n維隨機向量ξ=，可寫出它的協(xié)方差陣,(9)其中.由性質(zhì)1可知B是一個對稱陣，且對任何實數(shù),,二次型,即隨機向量ξ的協(xié)方差陣B是非負定的.性質(zhì)4設(shè)ξ=,C=,則的協(xié)方差陣為，其中B是ξ的協(xié)方差陣.因為，所以的第元素就是的第i元素與第j元素的協(xié)方差.?三、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差雖在某種意義上表示了兩個隨機變量間的關(guān)系，但的取值大小與ξ,的量綱有關(guān).為避免這一點，用ξ,的標準化隨機變量（

14、見例7）來討論.定義3稱(10)為ξ,的相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient).為了討論相關(guān)系數(shù)的意義，先看一個重要的不等式.柯西—許瓦茨(Cauchy—Schwarz)不等式對任意隨機變量ξ,有.(1