協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).ppt

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1、§4.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題對于二維隨機變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布對二維隨機變量,除每個隨機變量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系.問題:用一個怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.一.協(xié)方差定義與性質(zhì)若X,Y獨立,則根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有E(XY)=EXEY為X,Y的協(xié)方差.記為稱定義E{(X-EX)(Y-EY)}=E(XY)-EXEY=0X，Y獨立E{(X-EX)(Y-EY)}=0數(shù)反映了隨機變量X,Y之間的某種關(guān)系Cov(X,Y)=E(XY)-EX?EY.證明若(X,Y)為離散型，若(X,Y)為連續(xù)型，(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)

2、=D(X);Cov(X,c)=0;(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);協(xié)方差性質(zhì)(5)性質(zhì)1解例１:設(shè)隨機變量X?B(12,0.5),Y?N(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差定義:當(dāng)Cov(X,Y)=0時，稱X與Y不相關(guān)?！癤與Y獨立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？性質(zhì)2“X與Y獨立”“X與Y不相關(guān)”,反之未必成立.例２設(shè)(X,Y)在D={(x,y)：x2+y2?1}上服從均勻分布，求證：X與Y不相關(guān)，但不是相互獨立的。性質(zhì)3X與

3、Y為隨機變量,則下列結(jié)果等價(1)X,Y不相關(guān);(2)Cov(X,Y)=0;(3)E(XY)=EXEY;(4)D(X+Y)=DX+DY.二.相關(guān)系數(shù)(*)1.定義若隨機變量X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且DX>0,DY>0，則注1：若記稱為X的標(biāo)準化，易知EX*=0，DX*=1.且稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).無量綱的量注2X,Y不相關(guān)X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)若(X,Y)~N(?1,?12,?2,?22,?),則X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)注32.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定理在以上假設(shè)條件下，有(1)

4、?XY

5、?1；(2)

6、?XY

7、=1?存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X與Y不相關(guān)

8、??XY=0;1.設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0

9、定義設(shè)X1，…,Xn為n個隨機變量,記cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.則稱由cij組成的矩陣為隨機向量(X1，…,Xn)T的協(xié)方差矩陣C。即