方差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

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1、專業(yè)資料分享§2方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)?一、方差二、協(xié)方差三、相關(guān)系數(shù)四、矩?一、方差例1例1?????????????????????比較甲乙兩人的射擊技術(shù)，已知兩人每次擊中環(huán)數(shù)分布為：：.問哪一個(gè)技術(shù)較好？首先看兩人平均擊中環(huán)數(shù)，此時(shí)，從均值來(lái)看無(wú)法分辯孰優(yōu)孰劣.但從直觀上看，甲基本上穩(wěn)定在8環(huán)左右，而乙卻一會(huì)兒擊中10環(huán)，一會(huì)兒擊中6環(huán)，較不穩(wěn)定.因此從直觀上可以講甲的射擊技術(shù)較好.上例說(shuō)明：對(duì)一隨機(jī)變量，除考慮它的平均取值外，還要考慮它取值的離散程度.稱-為隨機(jī)變量對(duì)于均值的離差(deviation)，它是一隨機(jī)變量.為了給出一個(gè)描述離散程度的數(shù)值，考慮用，但由于

2、==0對(duì)一切隨機(jī)變量均成立，即的離差正負(fù)相消，因此用是不恰當(dāng)?shù)?我們改用描述取值的離散程度，這就是方差.定義1若存在，為有限值，就稱它是隨機(jī)變量的方差(variance)，記作Var,Var=(1)但Var的量綱與不同，為了統(tǒng)一量綱，有時(shí)用，稱為的標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation).WORD格式編輯整理專業(yè)資料分享方差是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，由§1的(5)式，即可寫出方差的計(jì)算公式Var==(2)進(jìn)一步，注意到==即有Var=.(3)許多情況，用(3)式計(jì)算方差較方便些.例1(續(xù))計(jì)算例1中的方差Var與Var.解利用(3)式==×0.1+×0.8+×0.1=

3、64.2,Var==64.2--=0.2.同理,Var==65.2-64=1.2>Var,所以取值較分散.這說(shuō)明甲的射擊技術(shù)較好.例2試計(jì)算泊松分布P(λ)的方差.解所以Var.例3設(shè)服從[a,b]上的均勻分布U[a,b]，求Var.WORD格式編輯整理專業(yè)資料分享解,Var.例4設(shè)服從正態(tài)分布，求Var.解此時(shí)用公式(2)，由于,Var.可見正態(tài)分布中參數(shù)就是它的方差,就是標(biāo)準(zhǔn)差.方差也有若干簡(jiǎn)單而重要的性質(zhì).先介紹一個(gè)不等式.切貝雪夫(Chebyshev)不等式若隨機(jī)變量的方差存在，則對(duì)任意給定的正數(shù)ε，恒有.(4)證設(shè)的分布函數(shù)為，則==/.這就得(4)式.切貝雪夫

4、不等式無(wú)論從證明方法上還是從結(jié)論上都有一定意義.事實(shí)上，該式斷言落在與內(nèi)的概率小于等于/，或者說(shuō)，WORD格式編輯整理專業(yè)資料分享落在區(qū)間內(nèi)的概率大于1-/，從而只用數(shù)學(xué)期望和方差就可對(duì)上述概率進(jìn)行估計(jì).例如，取ε=3，則≈0.89.當(dāng)然這個(gè)估計(jì)還是比較粗糙的（當(dāng)～時(shí)，在第二章曾經(jīng)指出,P(

5、ξ-

6、3)=P(

7、ξ-

8、3σ)≈0.997).性質(zhì)1=0的充要條件是P(ξ=c)=1，其中c是常數(shù).證顯然條件充分.反之，如果=0，記=c,由切貝雪夫不等式,P(

9、ξ-

10、ε)=0對(duì)一切正數(shù)ε成立.從而.性質(zhì)2設(shè)c,b都是常數(shù)，則Var(+b)=.(5)證Var(+b)=E(+b-E(

11、+b)=E(+b-c-b==.性質(zhì)3若,則.證因=E-,而E(ξ-c=E-2c+,兩邊相減得.這說(shuō)明隨機(jī)變量ξ對(duì)數(shù)學(xué)期望的離散度最小.性質(zhì)4=+2(6)特別若兩兩獨(dú)立，則WORD格式編輯整理專業(yè)資料分享=.(7)證Var(=E(-E(=E=E=+2,得證(6)式成立.當(dāng)兩兩獨(dú)立時(shí)，對(duì)任何有，故E=E(=E=0,這就得證(7)式成立.利用這些性質(zhì)，可簡(jiǎn)化某些隨機(jī)變量方差的計(jì)算.例5設(shè)ξ服從二項(xiàng)分布B(n,p),求.解如§1例12構(gòu)造,,它們相互獨(dú)立同分布，此時(shí)Var=pq.由于相互獨(dú)立必是兩兩獨(dú)立的，由性質(zhì)4.例6例6?????????設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布,,Var=,

12、().記=,求,.解由§1性質(zhì)2和本節(jié)性質(zhì)2和4有,WORD格式編輯整理專業(yè)資料分享.這說(shuō)明在獨(dú)立同分布時(shí)，作為各的算術(shù)平均，它的數(shù)學(xué)期望與各的數(shù)學(xué)期望相同，但方差只有的1/n倍.這一事實(shí)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有重要意義.例7設(shè)隨機(jī)變量ξ的期望與方差都存在,.令,稱它為隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)化.求與Var.解由均值與方差的性質(zhì)可知,.?二、協(xié)方差數(shù)學(xué)期望和方差反映了隨機(jī)變量的分布特征.對(duì)于隨機(jī)向量,除去各分量的期望和方差外，還有表示各分量間相互關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差.定義2記和的聯(lián)合分布函數(shù)為.若，就稱(8)為的協(xié)方差(covariance)，記作Cov().顯然，.公式(6)可改寫為

13、Var()+2.容易驗(yàn)證，協(xié)方差有如下性質(zhì)：性質(zhì)1Cov()=Cov().WORD格式編輯整理專業(yè)資料分享性質(zhì)2設(shè)是常數(shù)，則.性質(zhì)3.對(duì)于n維隨機(jī)向量ξ=，可寫出它的協(xié)方差陣,(9)其中.由性質(zhì)1可知B是一個(gè)對(duì)稱陣，且對(duì)任何實(shí)數(shù),,二次型,即隨機(jī)向量ξ的協(xié)方差陣B是非負(fù)定的.性質(zhì)4設(shè)ξ=,C=,則的協(xié)方差陣為，其中B是ξ的協(xié)方差陣.因?yàn)?，所以的第元素就是的第i元素與第j元素的協(xié)方差.?三、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差雖在某種意義上表示了兩個(gè)隨機(jī)變量間的關(guān)系，但的取值大小與ξ,的量綱有關(guān).為避免這一點(diǎn)，用ξ,的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量（見例7）來(lái)討論.