板殼理論課程設(shè)計(jì)(里茨法應(yīng)用)

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1、板殼理論課程設(shè)計(jì)第一部分綜述這學(xué)期我們學(xué)習(xí)了板殼理論，也就是彈性力學(xué)的下冊(cè)。經(jīng)過(guò)這學(xué)期的學(xué)習(xí)，我對(duì)彈性力學(xué)的概念也越發(fā)的清晰，也認(rèn)識(shí)到自己在公式推導(dǎo)方面的不足。不過(guò)作為一名力學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，這是最基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)要求。通過(guò)學(xué)習(xí)板殼理論，我對(duì)彈性力學(xué)問(wèn)題的分析思路更加清晰，尤其是對(duì)薄板問(wèn)題的處理，有了更好的認(rèn)識(shí)和理解。彈性力學(xué)的研究對(duì)象是完全彈性體，根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，忽略一些很小的次要因素，對(duì)物體的材料性質(zhì)采用了一些基本假定，即彈性力學(xué)的基本假定，主要有連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性，符合以上假定的物體，就稱(chēng)為理想彈性體。彈性體是變形體的一種，在外力作用下物體變形，當(dāng)外力不超過(guò)某一限度

2、時(shí)，出去外力后，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。在板殼理論中，這一原則的應(yīng)用則更加廣泛。在薄板的小撓度彎曲理論中，垂直于中面方向的正應(yīng)變可以不計(jì)；應(yīng)力分量所引起的變形可以不計(jì)；薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都沒(méi)有平行于中面的位移，這是以三個(gè)計(jì)算假定為基礎(chǔ)的。例如在薄板彎曲問(wèn)題中，一定載荷引起的彎應(yīng)力和扭應(yīng)力，在數(shù)值上最大，因而是主要的應(yīng)力；橫向切應(yīng)力在數(shù)值上較小，是次要的應(yīng)力；擠壓應(yīng)力在數(shù)值上更小，是更次要的應(yīng)力。因此，在計(jì)算薄板的內(nèi)力時(shí)，主要是計(jì)算彎矩和扭矩，橫向剪力一般都無(wú)須計(jì)算。這學(xué)期板殼理論的學(xué)習(xí)，讓我在上學(xué)期彈性力學(xué)上冊(cè)的基礎(chǔ)上有了新的收獲。上學(xué)期彈性力學(xué)的學(xué)習(xí)，我感覺(jué)整本書(shū)就講了十五個(gè)控制

3、方程解十五個(gè)未知數(shù)。而剩下的問(wèn)題就是如何求解這些方程的問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)和力學(xué)結(jié)合最緊密的地方。而求解的方法無(wú)外乎兩種:基于位移的求解和基于應(yīng)力的求解，而前人的研究大部分都是如何使這些方程求解起來(lái)更方便。彈性力學(xué)思路清晰，但是方程和公式復(fù)雜。例如,應(yīng)力函數(shù)的引入就是因?yàn)橥瑫r(shí)滿足平衡方程和應(yīng)力表達(dá)的相容方程是很難找到的。這學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了伽遼金法的應(yīng)用及其舉例，認(rèn)識(shí)了伽遼金位移函數(shù)它使得原本要求的方程(非齊次微分方程)轉(zhuǎn)化為求拉普拉期方程,而拉普拉斯方程在數(shù)學(xué)上（復(fù)變函數(shù)）已經(jīng)研究的很透徹，因而大大簡(jiǎn)化了求解的難度。而近代即二十世紀(jì)以來(lái)發(fā)展起來(lái)的能量法更是如此:對(duì)位移的變分方程代替了以

4、位移表達(dá)的平衡方程及應(yīng)力邊界條件，對(duì)應(yīng)力的變分代替了相容方程及位移邊界條件這無(wú)疑都大大簡(jiǎn)化了彈性力學(xué)基本方程的求解過(guò)程。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，各類(lèi)軟件也應(yīng)用在了各行各業(yè)，這學(xué)期我們還學(xué)習(xí)了ABAQUS和ANSYS兩類(lèi)有限元軟件。此外，通過(guò)數(shù)學(xué)軟件Matlab和Mathematica與有限元軟件的結(jié)合應(yīng)用，使得求解速度大大加快，便于方便實(shí)驗(yàn)，這也使得許多從前很難解決的問(wèn)題基本上都能獲得滿足工程精度的解答。在傳統(tǒng)理論解和有限元方法共同合作下，彈性力學(xué)的發(fā)展會(huì)更加迅速，它的應(yīng)用范圍更加廣泛，前景是非?？捎^的。第二部分解答題目：四邊為夾支邊的正方形薄板受均布荷載集度的解法1.里茨法設(shè)有一個(gè)正方

5、形薄板，邊長(zhǎng)為a=1m,厚度=0.015m如圖所示，四邊均為夾支邊，在薄板受有均布荷載的作用，。取坐標(biāo)軸如圖所示，則有位移邊界條件為在薄板的彎曲問(wèn)題中，一定荷載引起的彎應(yīng)力和扭應(yīng)力，在數(shù)值上最大，因而是主要的應(yīng)力；橫向切應(yīng)力在數(shù)值上較小，是次要的應(yīng)力。因此在計(jì)算薄板的內(nèi)力時(shí)i，主要是計(jì)算彎矩和扭矩，橫向剪力一般都無(wú)需計(jì)算。而由基爾霍夫指出，薄板任一邊界上扭矩都可以變換為等效的橫向剪力，和原來(lái)的橫向剪力合并，內(nèi)力表達(dá)式為在里茨法中，內(nèi)力邊界條件可忽略，因此將撓度的表達(dá)式取為（a）則上列位移邊界條件都能滿足，同時(shí)，式（a）在薄板的四邊還滿足了內(nèi)力邊界條件，即彎矩不等于零。薄板的形變勢(shì)能

6、表達(dá)式為：(b)在薄板的小撓度彎曲問(wèn)題中，按照計(jì)算假定，形變分量不計(jì)，于是形變勢(shì)能的表達(dá)式簡(jiǎn)化為(c)根據(jù)物理方程代入式（c）整理后得各項(xiàng)與Z無(wú)關(guān)（d）在等厚度薄板中，D是常量，式（d）可以寫(xiě)為（e）或?qū)憺椋╢）其中由格林定理得其中右邊的積分是沿薄板的邊界進(jìn)行的。本題中薄板全部邊界條件都是夾支邊，有式（f）可以簡(jiǎn)化為（g）按式（a）求撓度對(duì)于坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)，得到得從而（h）(i)由式（h）和(i)求出，代入式（a）,得由題意知薄板中心處撓度最大，為2.差分法2.1用4*4網(wǎng)格求解。由于對(duì)稱(chēng)，只有3個(gè)獨(dú)立的未知值，即，取坐標(biāo)如下所示一般來(lái)說(shuō)，夾支邊外一行虛結(jié)點(diǎn)處的撓度，就等于邊界內(nèi)一

7、行相對(duì)結(jié)點(diǎn)處的撓度，但計(jì)算精度較低，有時(shí)引起很大誤差。對(duì)夾支邊來(lái)說(shuō)，假定在邊線上按三次式變化，即以邊界結(jié)點(diǎn)4為原點(diǎn)，則有邊界條件圖1求得從而得出據(jù)此邊界外虛結(jié)點(diǎn)的撓度表達(dá)式分別為；；為結(jié)點(diǎn)1,2,3建立差分方程如下：帶入得到整理得出關(guān)于的線性方程組矩陣如下：=由此得到該3個(gè)結(jié)點(diǎn)處的撓度為（單位）：，，其中最大撓度為2.2用8*8的網(wǎng)格求解。由于對(duì)稱(chēng)，取薄板為研究對(duì)象，建立如下坐標(biāo)系，并標(biāo)注結(jié)點(diǎn)如圖所示同4*4網(wǎng)格差分法，邊界外虛結(jié)點(diǎn)的撓度分別為：；；；；為結(jié)點(diǎn)建立差分