ζ(s)的無理性探究

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1、與zeta函數(shù)無理性相關(guān)的一個(gè)積分參賽隊(duì)員：胡天智指導(dǎo)老師：劉詩順學(xué)校：廣州市執(zhí)信中學(xué)24摘要無理數(shù)的研究是一個(gè)比較古老又充滿現(xiàn)代氣息的課題，數(shù)的研究每前進(jìn)一步都會(huì)極大地推動(dòng)數(shù)學(xué)乃至更多自然科學(xué)的發(fā)展。（）是Riemann提出的用于研究素?cái)?shù)的函數(shù)，目前已成為解析數(shù)論核心內(nèi)容之一；人們嘗試計(jì)算s為整數(shù)的函數(shù)值，并研究它的無理性。目前可用于研究比較特殊的常數(shù)的無理性的方法有經(jīng)典分析法，Pade逼近法，Nesterenko數(shù)的線性無關(guān)理論等多種方法，但統(tǒng)一的方法較少或適用范圍很小。本文將采用經(jīng)典分析的方法，從的無理性

2、證明開始，探究有關(guān)、的無理性的問題，逐步建立的積分相關(guān)式，并用該式子較精細(xì)地研究的無理性，這是對(duì)方法的改進(jìn)。在最后一章將提出一個(gè)與積分的估計(jì)有關(guān)的猜想。本文的結(jié)論是的無理性與積分和前n個(gè)正整數(shù)（1，,2,L，n）的最小公倍數(shù)的s次方之積相關(guān)，這個(gè)結(jié)論可以用來證明s較小時(shí)的無理性。這一結(jié)論的意義在于我們可以通過這一積分的估計(jì)簡(jiǎn)捷獲得s較小時(shí)的無理性，當(dāng)然它的嚴(yán)謹(jǐn)性需要仔細(xì)的探討。關(guān)鍵詞：無理性；Riemann；分析方法；多重積分估計(jì)24一、問題的介紹無理數(shù)對(duì)我們來說應(yīng)當(dāng)是不陌生的，不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)即是無

3、理數(shù)，關(guān)于無理數(shù)的研究是意義深遠(yuǎn)的，很多分支，如超越數(shù)論，各類逼近理論，分析學(xué)，代數(shù)學(xué)，實(shí)數(shù)集合的深入研究，都與無理數(shù)有一定關(guān)聯(lián)，而且關(guān)于無理數(shù)有很多著名問題和猜想，本文將討論其中一個(gè)，由于無理數(shù)是不可數(shù)的，我們有理由認(rèn)為，關(guān)于無理數(shù)的研究既不會(huì)過時(shí)，也很難窮盡。是兩個(gè)最為人們熟知的無理數(shù)，而這個(gè)定理的證明卻比較復(fù)雜，然而更為復(fù)雜的是（）的無理性，讓我們了解一下的研究過程：Euler最先得出，這也標(biāo)志著的無理性獲得證明；1978年，法國數(shù)學(xué)家Apery宣布證明了的無理性，簡(jiǎn)化了他的證明，同樣這是關(guān)于的最好記錄（

4、關(guān)于，有相應(yīng)求和公式說明它是一個(gè)無理數(shù)），也就是說，，s=5,7,9...的無理性尚未確定，2000年，Rivoal和Zudilin在應(yīng)用Nesterenko數(shù)的線性無關(guān)理論的基礎(chǔ)上得出了、、、中至少有一個(gè)是無理數(shù)，這被認(rèn)為是目前關(guān)于無理性的最好結(jié)果。對(duì)于、的證明方法有很多，Apery最先構(gòu)造了無限個(gè)有理數(shù)，使得，是任意常數(shù)；之后應(yīng)用二重積分給出了一個(gè)很簡(jiǎn)單的證明；還有Sorokin應(yīng)用Pade逼近給出了證明；甚至Zudilin還給出了一個(gè)初等證明。本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第二章會(huì)簡(jiǎn)述相關(guān)理論，并證明所需要的各個(gè)引

5、理；本文的第三章將先簡(jiǎn)要說明對(duì)的證明，再嘗試用積分估計(jì)式探討的無理性，這是為了為后來討論提供充足經(jīng)驗(yàn),之后建立與相關(guān)的積分式，提出本文中的核心定理，并討論該方法的合理性和須改進(jìn)之處；第四章提出一個(gè)猜想。本文的結(jié)論是得出了的無理性與積分相關(guān)，應(yīng)用這一結(jié)論可以簡(jiǎn)單證明s較小時(shí)是個(gè)無理數(shù)。24二、相關(guān)理論本章介紹基礎(chǔ)理論和需要用到的引理。在這里首先聲明這一章中的定理大多已為眾人所知，是經(jīng)典的事實(shí)，而部分引理來自朱堯辰先生的無理數(shù)引論，馮貝葉先生的多項(xiàng)式與無理數(shù)，還有一部分是對(duì)數(shù)學(xué)家們?cè)脕碜C明是無理數(shù)的引理的簡(jiǎn)單推廣

6、。在本章中我們給出會(huì)用到相關(guān)理論，對(duì)于經(jīng)典定理不予證明，而引理則簡(jiǎn)述其證明。（定理的證明請(qǐng)參見數(shù)學(xué)分析，無理數(shù)引論，，多項(xiàng)式和無理數(shù)，素?cái)?shù)定理的初等證明等）首先我們給出：無理數(shù)的定義不能表示成，p、q是整數(shù)，形式的數(shù)是無理數(shù)。接下來給出無理數(shù)的幾個(gè)數(shù)論性質(zhì)：無理數(shù)的十進(jìn)制表示是非周期的，即它的小數(shù)部分無限不循環(huán)；無理數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開式是無限的，并且唯一；任意給定，若數(shù)滿足，那么數(shù)是無理數(shù)（，是整數(shù)）。（一）關(guān)于微積分的理論首先給出一個(gè)有用的公式2.1.1，并將它推廣為公式2.1.2：對(duì)兩端取不定積分，得到，移項(xiàng)后

7、，得到公式（2.1.1）對(duì)于積分，反復(fù)使用公式2.1.1，我們將得到公式2.1.2:,這個(gè)公式很重要，在后面重要定理的證明中會(huì)經(jīng)常使用。將公式2.1.2用于定積分中，于是得到公式2.1.3除此之外，還有冪級(jí)數(shù)展開：接下來要討論一種特殊的多項(xiàng)式：Legendre多項(xiàng)式，先介紹它的定義：設(shè)是n次多項(xiàng)式，對(duì)任意次數(shù)低于n的多項(xiàng)式Q（x）都有，則稱24是區(qū)間上的n次Legendre多項(xiàng)式。定理2.1.1Legendre多項(xiàng)式存在，設(shè)是區(qū)間上的n次Legendre多項(xiàng)式，那么(是一個(gè)不依賴于x的常數(shù))。這個(gè)定理不僅說明了

8、Legendre多項(xiàng)式的存在性，還給出了它的形式。定理2.1.2當(dāng)我們?nèi)?，在區(qū)間上設(shè)，那么（關(guān)于Legendre多項(xiàng)式的相關(guān)知識(shí)和定理的證明請(qǐng)參見文獻(xiàn)）（二）關(guān)于數(shù)論的知識(shí)初等數(shù)論中最基本的定理是算數(shù)基本定理：定理2.3.1（算數(shù)基本定理）任取一個(gè)正整數(shù)n，總可以得到表達(dá)式（是正整數(shù)，是若干個(gè)互不相等的素?cái)?shù)）且這個(gè)表達(dá)式在不計(jì)次序下唯一。這里給出著名的素?cái)?shù)定理：定理2.3.2（素?cái)?shù)定