淺談構(gòu)造法在解題中的運(yùn)用

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1、淺談構(gòu)造法在解題中的運(yùn)用摘要：新課改明確要求教師必須在教學(xué)屮逐步培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的意識(shí)和精神，因此構(gòu)造和創(chuàng)新是數(shù)學(xué)教育始終培養(yǎng)的綜合目標(biāo)，構(gòu)造能力也是學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這就要求學(xué)生掌握滲透于數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法，使他們能用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題。構(gòu)造法是屬于非常規(guī)思維,其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”?！皹?gòu)造法”作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學(xué)解題屮冇著重要的作用。從“構(gòu)造函數(shù)”“構(gòu)造方程”等常見(jiàn)構(gòu)造多個(gè)角度舉例說(shuō)明應(yīng)用構(gòu)造法解題的基木構(gòu)思途徑。關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；函數(shù)；方程；解題一、構(gòu)造函數(shù)例1?設(shè)X,y為實(shí)數(shù)

2、，且滿足關(guān)系式：(x-1)3+1997(x-1)二-1(y-1)3+1997(y-1)=1則x+y二o分析：此題若用常規(guī)解方程方法，分別求出x和y的值后再求x+y則非常困難，因?yàn)槿畏匠探夥ㄎ覀儾⒉皇煜?。如果我們注意到方程組中兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)非常相似,即(x-1)3+1997(x-1)二(1-y)3+1997(1-y)二1,我們應(yīng)該能夠想到構(gòu)造函數(shù)f(t)=t3+1997t,所以fz(t)=3t2+1997>0o解：構(gòu)造函數(shù)f‘(t)=3t2+1997,所以f‘(t)=3t2+1997>0恒成因此，函數(shù)

3、f(t)二t3+1997t在R上為增函數(shù)，所以f(x-1)二f(1-y)二1,所以x-1二l-y,即x+y二2。指出：此題利用函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的關(guān)系巧妙地得到兩個(gè)未知量的等量關(guān)系，從而使問(wèn)題迎刃而解。二、構(gòu)造方程例2.已知p3+q3二2,求證：p+qW2。分析：此題條件是等式，結(jié)論是不等式，若直接從等式過(guò)渡到不等式比較困難，若我們把p+q看作一個(gè)整體變量，則PQ就可以用這個(gè)變量表示，由韋達(dá)定理可以構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別為P和q,再根據(jù)判別式可求出P+q的范圍。解：設(shè)p+

4、q二k,因?yàn)閜3+q3二(p+q)(p2-pq+q2)=2>0,而p2-pq+q2>0恒成立，則p+q二k>0,根據(jù)條件易求得:pq=B構(gòu)造方程x2-kx+B=0,易知方程的兩個(gè)根就是p和q,所以判別式△二k2-?M0,解得:kW2,即p+qW2。指出：此題通過(guò)構(gòu)造方程設(shè)法構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使p和q以其系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)的面目出現(xiàn)，再由A$0得到不等式。三、構(gòu)造圖形例3.已知x,y,zW(0,1),求證：x(1-y)+y(l~z)+z(l-x)

5、手。我們仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)不等式的左邊是三個(gè)兩項(xiàng)積的和，兩項(xiàng)的乘積聯(lián)系幾何中的知識(shí)就很容易聯(lián)想到三角形的面積。證明：構(gòu)造等邊三角形ABC,且邊長(zhǎng)為1,設(shè)P、Q、R分別為AB、BC.AC上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，設(shè)AP二x,BQ二z,CR=y,如圖所示：根據(jù)三角形面積公式可得：■則SAAPR=HAP?ARsin60°=Hx(1-y)SZXCQR二■CR?CQsin60。=Hy(1-z)SABPQ=BBQ?BPsin60°二.z(1-x)又因?yàn)镾AAPR+SACQR+SABPQ

6、x(1-y)+.y(1-z)+.z(1-x)<■即x(1-y)+y(l~z)+z(1-x)<1總之，構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，一種數(shù)學(xué)方法形式的構(gòu)造決不是單一的思維方式，而是多種思維方式交叉融匯在一起共同作用的結(jié)果。構(gòu)造的形式多種多樣，還有構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列等，這里我們不再一一列舉了。通過(guò)對(duì)以上例題的分析，不難看出，構(gòu)造法對(duì)增強(qiáng)解題能力、培養(yǎng)思維品質(zhì)有著不可低估的作用。數(shù)學(xué)的魅力在于追求簡(jiǎn)單，而解題中的巧妙構(gòu)造，往往有化繁瑣為簡(jiǎn)潔之功效，是對(duì)數(shù)學(xué)美最好不過(guò)的一次注釋。參考文獻(xiàn)：[1]管宏斌?構(gòu)

7、造對(duì)偶式的八種途徑?數(shù)學(xué)教學(xué)，2005(07).[2]邵光華?數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)?北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.[1]宋玉連?構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用芻議?連云港教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1999(2)?(作者單位浙江省蒼南縣錢(qián)庫(kù)高級(jí)中學(xué))