“命題的否定”與“否命題”辨析

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1、命題的“否定”與“否命題”的辨析（郵編331800）江西省東鄉(xiāng)縣實驗中學(xué)數(shù)學(xué)組黃樹華數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時處處涉及命題之間的邏輯關(guān)系和推理論證，現(xiàn)行教材新課標高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-1、2-1的第一章均新增“常用邏輯用語”內(nèi)容，介紹一些簡單而又實用的邏輯知識，本意是讓學(xué)生弄清命題之間的邏輯關(guān)系，自覺地使用邏輯規(guī)則，避免一些易犯的錯誤，從而增強判斷能力和推理能力，提高數(shù)學(xué)思維能力。由于新增內(nèi)容，對于高中新生來說是較為抽象，在理解上尚一定難度，加之資料書上對這方面談得少，且我們有些一線教師

2、知識上也存在一定缺陷。鑒于此，本人根據(jù)自己已從事一輪新課標教學(xué)的實踐，就此問題加以詮釋，供同仁探討。一、命題的“否命題”關(guān)于“否命題”，教材中講得很明確，僅針對命題“若P則q”提出來的。寫出一個命題的否命題，簡單地說就是將原命題改寫成否定條件并且否定結(jié)論的形式。即“若p則q”的否命題為“若非p則非q”。命題的否命題與原命題的真假可能相同也可能相反。如“若兩個三角形全等則面積相等”（真命題）的否命題為“若兩個三角形不全等則面積不相等”（假命題）。又如“若x≠2，則x2≠4”（假命題）的否命題為“若x=2，則

3、x2=4”（真命題）。寫出一個命題的否命題，關(guān)鍵是弄清楚命題的條件和結(jié)論，如命題“正方形是菱形”的條件是“四邊形是正方形”，結(jié)論是“這個四邊形是菱形”，其否命題為“若四邊形不是正方形則這個四邊形不是菱形”。二、命題的“否定”“非p”叫做命題p的非命題，即命題p的否定。一個命題p經(jīng)過使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”，就構(gòu)成一個復(fù)合命題“非p”（記作“┓p”）稱為命題的否定。“非p”形式的復(fù)合命題的真值與原命題p的真值正好相反，構(gòu)成一對矛盾命題。但值得注意的是“非p”絕不是“是”與“不是”的簡單演譯，而是要對判斷對象做出

4、正確的否定。以下分別舉例說明：（一）簡單命題的否定。簡單命題是不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。常見的有：1．形如“A是B”的命題，這類命題的否定為：“A不是B”。如命題“e是無理數(shù)?！钡姆穸椤癳不是無理數(shù)?！崩?．寫出下列命題的否定：第4頁共4頁(1)若x2+y2=0，則x、y全為0；(2)三角形兩邊之和一定大于第三邊；(3)正方形的四條邊都相等；(4)實數(shù)的絕對值一定都是非負數(shù)?！〗猓?1)的否定：若x2+y2=0，則x、y不全為0；(2)的否定：三角形兩邊之和一定不大于第三邊；(3)正方形的四條邊不都相等（而

5、不是正方形的四條邊不相等）；(4)實數(shù)的絕對值一定不都是非負數(shù)。一般地，“都”表示全部，“不都”表示不是全部，它包含一部分或沒有，而“都不”表示全不，即一個也沒有。對“全”、“都”的否定，只需在前面加一個“不”。而“一定”是一個語氣助詞，帶強調(diào)意味，這兩者有一定區(qū)別。在對“一定”、“一定都”等否定時，可分兩步，先將“一定”兩字拿下，對剩下的命題進行否定，再將“一定”兩字放在“不”的前面。如對命題(2)的否定，先是“三角形兩邊之和不大于第三邊”，后得命題(2)的否定；對命題(4)的否定可先得否定命題“實數(shù)的

6、絕對值不都是非負數(shù)”，再放上“一定”得命題(4)的否定。2．全稱命題和存在命題（也叫特稱命題）的否定。含有“一切”、“任意”、“所有”、“全部”、“都”、“任何”、“每一”等全稱量詞的命題稱為全稱命題，命題形式為：x∈A，p(x)成立。全稱命題的否定為：x∈A，p(x)不成立；含有“存在”、“某個”、“一些”、“有的”、“至少有一個”等特稱量詞的命題稱為存在命題（也叫特稱命題），命題形式為：x∈A，p(x)成立。特稱命題的否定為：x∈A，p(x)不成立。例2．寫出下列命題的否定：(1)所有分數(shù)的平方是正數(shù)

7、；(2)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)；(3)等圓的面積相等，周長相等；(4)x∈R，使得x2+x+1≤0。　解：(1)的否定：有些分數(shù)的平方不是正數(shù)；(2)的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。(3)的否定：存在一對等圓其面積不相等或周長不相等；(4)的否定：x∈R，使得x2+x+1>0。(二)復(fù)合命題的否定。由簡單命題用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“非”、“或”等聯(lián)結(jié)而成的命題稱為復(fù)合命題。其否定形式如下：(1)命題“非p”是對命題“p”的否定，命題“非p”與命題“p”的真假正好相反，故“非p”的否定是p。如命題“3不是9的約數(shù)”的否

8、定是“3是9的約數(shù)”；第4頁共4頁(2)用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)構(gòu)成“p且q”型的復(fù)合命題稱為聯(lián)言命題。其否定是：非p或非q。如命題“96是48與16的倍數(shù)。”的否定為“96不是48的倍數(shù)或不是16的倍數(shù)?！?3)用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)構(gòu)成“p或q”型的復(fù)合命題稱為選言命題，其否定是：非p且非q。如命題“1是合數(shù)或質(zhì)數(shù)”的否定為“1既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)”；(三)“若p則q”的命題。用聯(lián)結(jié)詞“若…則…”聯(lián)結(jié)的“若p則q”型的命題稱為p、q