3c 虛功原理推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃?/h1>

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1、§3-3虛功原理推導(dǎo)梁單元的（單元）剛度矩陣設(shè)在力P的作用下，梁單元i-j的兩端點(diǎn)分別發(fā)生了線位移和角位移，用來表示梁單元的端點(diǎn)位移（又稱結(jié)點(diǎn)位移）：使梁單元發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移的單元結(jié)點(diǎn)力（桿端力）為：根據(jù)材料力學(xué)，如果已知梁的兩端點(diǎn)位移，則可求出等截面梁上任意一點(diǎn)的位移（撓度）。即梁上任意一點(diǎn)的位移v(x)可以用表示出來，設(shè)二者的關(guān)系為：又設(shè)由于某種其他原因，該梁發(fā)生了變形，引起梁單元兩端點(diǎn)的位移為（用向量形式表示）：梁中任意一點(diǎn)的位移為：相對于力P引起的位移v(x),稱v*(x)為虛位移計(jì)算梁單元的外力虛功和內(nèi)力虛功對梁單元來說，兩端點(diǎn)的力即是外力，則外力虛功為：內(nèi)力虛功

2、=虛應(yīng)變能∵∴式中：虛功原理：系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)的充要條件是外力虛功=內(nèi)力虛功即：而虛位移為任意、不為零，所以上式等價(jià)于：§3-4單元位移函數(shù)的基本概念對于梁和二力桿，已知單元兩端點(diǎn)位移（兩端點(diǎn)的力），即可求得單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移。對于其他類型的單元即使知道單元結(jié)點(diǎn)位移（或單元結(jié)點(diǎn)力）也難以求得單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移。有限元法的解決方法：假設(shè)一個(gè)單元結(jié)點(diǎn)位移與單元內(nèi)任意一點(diǎn)位移的關(guān)系—多項(xiàng)式形式，稱這個(gè)關(guān)系為單元位移函數(shù)，又稱單元位移場、單元位移模式。多項(xiàng)式的獲得采用插值的方法—對單元結(jié)點(diǎn)位移插值。例：用插值方法獲得梁單元的單元位移函數(shù)v(x),已知梁兩端點(diǎn)i,j的位移分別

3、為：解：設(shè)v(x)為一個(gè)多項(xiàng)式，其階數(shù)根據(jù)已知條件的個(gè)數(shù)確定?！摺鄬τ趘(x)有4個(gè)已知條件：①v(0)=②③v(l)=④∴可設(shè)：其中：為待定系數(shù)，現(xiàn)將其用向量{a}表示：則v(x)又可以寫成：將4個(gè)已知條件代入，可得到以4個(gè)待定系數(shù)為未知量的方程組：①v(0)=②③v(l)=④將上面的方程組寫成矩陣形式：→解此方程組，即可求得4個(gè)待定系數(shù)：∴因此我們用插值的方法獲得了單元內(nèi)任意一點(diǎn)位移與單元結(jié)點(diǎn)（端點(diǎn)）位移之間的關(guān)系---單元位移函數(shù)。有了單元位移函數(shù)就可以用能量法推得的單元?jiǎng)偠染仃嚨墓絹碛?jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚵?。對于直梁，其虛?yīng)變能：