第2講、函數(shù)概念的深入理解

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1、第二講、函數(shù)概念的深入理解板塊一、映射知能點(diǎn)全解：知能點(diǎn)一：映射的概念設(shè)、是兩個(gè)非空的集合，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素，在集合中都有唯一確定的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合、，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系）叫做集合到集合的映射，記作：。知能點(diǎn)二：像與原像的概念給定一個(gè)集合A到集合的映射，且，如果元素和元素對(duì)應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的像，元素叫做元素的原像。特別提醒：1、對(duì)于映射→來說，則應(yīng)注意理解以下四點(diǎn)：（1）集合中每一個(gè)元素，在集合中必有唯一的象；（2）集合中不同元素，在集合中可以有相同的象；

2、（3）允許集合中的元素沒有象；（4）集合中的元素與集合中的元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以是：“一對(duì)一”、“多對(duì)一”，但不能是“一對(duì)多”。2、集合、及對(duì)應(yīng)法則是確定的，是一個(gè)系統(tǒng)；3、對(duì)應(yīng)法則有“方向性”。即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；例1：給出下列關(guān)于從集合到集合的映射的論述，其中正確的有_________。①中任何一個(gè)元素在中必有原象；②中不同元素在中的象也不同；③中任何一個(gè)元素在中的象是唯一的；④中任何一個(gè)元素在中可以有不同的象；⑤中某一元素在中的原象可能不止一個(gè)；⑥集合與一定是數(shù)集；

3、⑦記號(hào)與的含義是一樣的．答案：③⑤及時(shí)演練，，，，．在的作用下，的原象是多少？14的象是多少？解：由，解得，故的原象是6;又，故14的象是知能點(diǎn)三：一一映射一般地，設(shè)，是兩個(gè)非空的集合，→是集合到集合的映射，如果在這個(gè)映射下，對(duì)于集合中的不同的元素，在集合中有不同的象，而且中每一個(gè)元素都有原象，那么這個(gè)映射叫做到的一一映射。特別提醒：對(duì)一一映射概念的理解應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：1、對(duì)于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，也就是說，不允許“多對(duì)一”；2、集合B中的每一個(gè)元素都有原象，也就是說，集合中不允許有剩余的元素。例2

4、：下列集合到集合的對(duì)應(yīng)中，判斷哪些是到的映射?判斷哪些是到的一一映射?(1)，對(duì)應(yīng)法則；第14頁（共14頁）(2)，，，，；(3)，，對(duì)應(yīng)法則取正弦；(4)，，對(duì)應(yīng)法則除以2得的余數(shù)；(5)，，對(duì)應(yīng)法則；(6)，，對(duì)應(yīng)法則作等邊三角形的內(nèi)切圓。解：(1)是映射，不是一一映射，因?yàn)榧现杏行┰?正整數(shù))沒有原象；(2)是映射，是一一映射．不同的正實(shí)數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)仍是正實(shí)數(shù)，任何一個(gè)正數(shù)都存在倒數(shù)；(3)是映射，是一一映射，因?yàn)榧现械慕堑恼抑蹈鞑幌嗤?，且集合中每一個(gè)值都可以是集合中角的正弦值；(4)是映射，

5、不是一一映射，因?yàn)榧现胁煌貙?duì)應(yīng)集合中相同的元素；(5)不是映射，因?yàn)榧现械脑?如4)對(duì)應(yīng)集合中兩個(gè)元素(2和-2)；(6)是映射，是一一映射，因?yàn)槿魏我粋€(gè)等邊三角形都存在唯一的內(nèi)切圓，而任何一個(gè)圓都可以是一個(gè)等邊三角形的內(nèi)切圓。邊長不同，圓的半徑也不同拓展知識(shí)點(diǎn)：1、設(shè)集合有個(gè)元素，集合有個(gè)元素，那么映射的個(gè)數(shù)為；映射的個(gè)數(shù)為。2、設(shè)集合、都有個(gè)的元素，那么到的一一映射的個(gè)數(shù)為例3：已知集合，那么到的映射的個(gè)數(shù)為256個(gè)；到的一一映射的個(gè)數(shù)為24個(gè)。板塊二、函數(shù)的相關(guān)概念知能點(diǎn)全解：知能點(diǎn)一：函數(shù)的概念設(shè)

6、、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作。其中叫自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)y=f(x)的值域.特別注意：1、函數(shù)實(shí)際上就是集合到集合的一個(gè)特殊映射，其特殊處主要在于集合,為非空的數(shù)集；其中定義域，就是指原象的集合，值域，就是象的集合。2、函數(shù)符號(hào)表示“是的函數(shù)”，應(yīng)理解為：（1）是自變量，它是關(guān)系所施加的對(duì)象；是對(duì)應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可

7、以是圖像、表格，也可以是文字描述；（2）符號(hào)僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“等于與的乘積”，也不一定是解析式，再研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)外，還常用等符號(hào)來表示。3、判斷兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗(yàn)：（1）的取值集合是否為空集（2）根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量在其定義域內(nèi)的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)。例4：下列各式能否確定是的函數(shù)？第14頁（共14頁）（1）；（2）；（3）解：（1）不能。由得出，所以當(dāng)時(shí)，，故不符合函數(shù)的定義；（2）能；（3）不能。因?yàn)?。知能點(diǎn)二：函數(shù)的值表示當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值，這個(gè)值就由

8、“”這一對(duì)應(yīng)關(guān)系來確定；與是不同的，前者表示以為自變量的函數(shù)，后者為常數(shù)例5：已知，則；；；；。答案：-1；41；；；。知能點(diǎn)三：函數(shù)的三要素我們通常把對(duì)應(yīng)法則、定義域A、值域稱為函數(shù)的三要素。由函數(shù)的定義可知，由于函數(shù)值域被函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全確定，這樣確定一個(gè)函數(shù)只需兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則。如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別相同，我們就說這兩個(gè)