多自由度系統(tǒng)中的阻尼

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1、第七節(jié)多自由度系統(tǒng)中的阻尼（教材6.14）前面介紹了多自由度系統(tǒng)無阻尼系統(tǒng)的振動。對于工程上的各種彈性結(jié)構(gòu)來說，它們振動時總受到各種阻尼力的作用（如材料阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、介質(zhì)粘性阻尼等等），由于各種阻尼力的機(jī)理比較復(fù)雜，在分析振動時，常常將各種阻尼力都簡化為與速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系數(shù)須有工程上的經(jīng)驗公式求出，或由實驗數(shù)據(jù)確定。有粘性阻尼的n個自由度系統(tǒng)求響應(yīng)很困難，其原因在于只有在特定的條件下，用模態(tài)分析法才能使運動微分方程解耦。下面分析之。有阻尼的n個自由度系統(tǒng)的運動微分方程為（5-60）式

2、中是阻尼矩陣，為n×n對稱矩陣。由無阻尼自由振動微分方程求得固有頻率和振型向量，得正則振型矩陣。令代入方程（5-60）并前乘以，得（a）因------單位矩陣6∴（b）而一般不是對角矩陣。因此，模態(tài)分析法不能使式（a）變成一組獨立的微分方程組。例如圖示系統(tǒng)，已知，。已解出阻尼矩陣為∵∴不是對角矩陣。6可以證明，利用系統(tǒng)的無阻尼振型矩陣或使系統(tǒng)阻尼矩陣實現(xiàn)對角化的充分必要條件為特殊情況：一、如果原廣義坐標(biāo)的阻尼矩陣剛好與質(zhì)量矩陣或剛度矩陣成正比，或者是它們的線性組合，即其中和為正的常數(shù)。稱這種阻尼為比例

3、阻尼。對于這種比例阻尼，當(dāng)原廣義坐標(biāo)變換為正則坐標(biāo)時，正則坐標(biāo)的阻尼矩陣是對角矩陣：令第i階模態(tài)阻尼為。對應(yīng)的第i階模態(tài)阻尼比為6則正則坐標(biāo)的阻尼矩陣可寫成另外一種形式可見，比例阻尼是使成為對角矩陣的一種特殊情形。一、工程上大多數(shù)情況下，正則坐標(biāo)中的阻尼矩陣不是對角矩陣。然而，工程上的大多數(shù)振動系統(tǒng)中，阻尼都比較小，而且由于各種阻尼的機(jī)理至今還沒有完全搞清楚，精確測定阻尼的大小也還有很多困難。所以往往采用一種近似的方法，把中非對角元素都改為零，而只保留對角元素原有的數(shù)值，于是得到對角阻尼矩陣上式稱為正

4、則振型的阻尼矩陣，稱為第i階正則振型的阻尼系數(shù)。如采用相對阻尼比表示，有6式中，為第i階正則振型的相對阻尼比。對于上面兩種情況，用代替之后，方程（b）變成如下形式它的展開式為這是一組n個相互獨立的二階常系數(shù)線性微分方程組，彼此可以獨立求解。這樣，把有阻尼的多自由度系統(tǒng)的振動問題，簡化為n個正則坐標(biāo)的單自由度系統(tǒng)的振動問題。如果正則坐標(biāo)的初始值為和，類似于單自由度系統(tǒng)的結(jié)果，應(yīng)用杜哈美積分，有6式中。將所得代入就可以得到原廣義坐標(biāo)在有阻尼情況下對激勵的響應(yīng)。6