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《圓系方程及其應(yīng)用2012.10.11》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、圓系方程及其應(yīng)用一．常見的圓系方程有如下幾種：1．以為圓心的同心圓系方程： 與圓同心的圓系方程為：2．過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為：（1）當(dāng)直線與圓交于兩點(diǎn)時(shí)，圓系中的所有圓是以為公共弦的一系列相交圓，其圓心在公共弦的垂直平分線上；（2）當(dāng)直線與圓切于點(diǎn)時(shí)，這時(shí)圓系的圓心，而直線的法向量，∴，∴∥因此，，且直線為圓的過(guò)點(diǎn)的切線．又∵（過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線垂直），∴與重合．由此可知，圓系中的所有圓（除圓外）與圓內(nèi)切或外切于點(diǎn)，直線是它們的公切線，圓心都在直線上．3．過(guò)兩圓與交點(diǎn)的圓系方程為：．可知，圓心,因此，點(diǎn)共線，即圓系的所有圓的圓心都
2、在已知兩圓的連心線上．（1）當(dāng)圓與圓相交于兩點(diǎn)時(shí)，則（即連心線與公共弦垂直），且弦為所有圓的公共弦；（2）當(dāng)圓與圓內(nèi)切或外切于點(diǎn)時(shí)，則在過(guò)切點(diǎn)的連心線上，圓系的所有圓都與已知的圓及圓在點(diǎn)處內(nèi)切或外切．注意：（1）此圓系不含圓；（2）為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過(guò)圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:（3）特別地，當(dāng)時(shí)，上述方程稱為根軸方程．根軸的特點(diǎn)：位于已知兩圓外的根軸上的任意一點(diǎn)向圓系的所有圓所作的切線的長(zhǎng)都相等．①當(dāng)兩已知圓與圓于兩點(diǎn)時(shí)，方程表示公共弦所在直線的方程；②當(dāng)圓與圓內(nèi)切或外切于點(diǎn)時(shí)，方程表示過(guò)（內(nèi)或
3、外）公切點(diǎn)的公切線方程．這時(shí)，除點(diǎn)外，公切線上的所有點(diǎn)均具有根軸的性質(zhì)．二．圓系方程在解題中的應(yīng)用例1．求經(jīng)過(guò)兩圓和交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程．解：設(shè)所求圓的方程為： ∵點(diǎn)在所求的圓上，將代入，得，解得故所求的圓的方程為：即 ＋7＋＝０。例2．求與圓切于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程．解一：視點(diǎn)為點(diǎn)圓，構(gòu)造圓系代入點(diǎn)，可得，∴所求的圓的方程為解二：過(guò)點(diǎn)的已知圓的切線方程為，與已知圓構(gòu)造圓系代入點(diǎn)，可得，∴所求的圓的方程為例3.求經(jīng)過(guò)直線與圓Ｃ：的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．解一：設(shè)圓的方程為，即，則，∴當(dāng)時(shí)，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程
4、為：.解二：設(shè)圓的方程為，即，依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上，即，解得將代回圓系方程得，所求圓方程為作業(yè)：1.求與圓切于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程．2.求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且與直線相切的圓的方程．3.圓系中，任意兩個(gè)圓的位置關(guān)系如何？圓系方程及其應(yīng)用（教師用）一．常見的圓系方程有如下幾種：1．以為圓心的同心圓系方程： 與圓同心的圓系方程為：2．過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為：（1）當(dāng)直線與圓交于兩點(diǎn)時(shí)，圓系中的所有圓是以為公共弦的一系列相交圓，其圓心在公共弦的垂直平分線上；（2
5、）當(dāng)直線與圓切于點(diǎn)時(shí)，這時(shí)圓系的圓心，而直線的法向量，∴，∴∥因此，，且直線為圓的過(guò)點(diǎn)的切線．又∵（過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線垂直），∴與重合．由此可知，圓系中的所有圓（除圓外）與圓內(nèi)切或外切于點(diǎn)，直線是它們的公切線，圓心都在直線上．3．過(guò)兩圓與交點(diǎn)的圓系方程為：．可知，圓心,因此，點(diǎn)共線，即圓系的所有圓的圓心都在已知兩圓的連心線上．（1）當(dāng)圓與圓相交于兩點(diǎn)時(shí)，則（即連心線與公共弦垂直），且弦為所有圓的公共弦；（2）當(dāng)圓與圓內(nèi)切或外切于點(diǎn)時(shí)，則在過(guò)切點(diǎn)的連心線上，圓系的所有圓都與已知的圓及圓在點(diǎn)處內(nèi)切或外切．注意：（1）此圓系不含圓；（2）為
6、了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過(guò)圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:（3）特別地，當(dāng)時(shí)，上述方程稱為根軸方程．根軸的特點(diǎn)：位于已知兩圓外的根軸上的任意一點(diǎn)向圓系的所有圓所作的切線的長(zhǎng)都相等．①當(dāng)兩已知圓與圓于兩點(diǎn)時(shí)，方程表示公共弦所在直線的方程；②當(dāng)圓與圓內(nèi)切或外切于點(diǎn)時(shí)，方程表示過(guò)（內(nèi)或外）公切點(diǎn)的公切線方程．這時(shí)，除點(diǎn)外，公切線上的所有點(diǎn)均具有根軸的性質(zhì)．二、圓系方程在解題中的應(yīng)用：例1．求經(jīng)過(guò)兩圓和交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程．解：設(shè)所求圓的方程為： ∵點(diǎn)在所求的圓上，∴ 有－2＋＝０． 從而＝２故所求的圓的方程為
7、：即?。?＋＝０。例2．求與圓切于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程．解一：視點(diǎn)為點(diǎn)圓，構(gòu)造圓系代入點(diǎn)，可得，∴所求的圓的方程為解二：過(guò)點(diǎn)的已知圓的切線方程為，與已知圓構(gòu)造圓系代入點(diǎn)，可得，∴所求的圓的方程為例3.求經(jīng)過(guò)直線與圓Ｃ：的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．解一：設(shè)圓的方程為，即，則，∴當(dāng)時(shí)，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：.解二：設(shè)圓的方程為，即，依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上，即，解得將代回圓系方程，得所求的圓方程為練習(xí)：1.求與圓切于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程．解：設(shè)
8、所求的圓方程為∵圓過(guò)點(diǎn)，將代入，得，解得，將代回圓系方程，得所求的圓方程為2.求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且與直線相切的圓的方程．解：設(shè)所求的圓的方程為，即圓心，半徑圓心到直線的距離∵所求圓與直線相切，∴，即∴所求的圓的方程為，即
