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《圓系方程及其應用2012.10.11》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、圓系方程及其應用一．常見的圓系方程有如下幾種：1．以為圓心的同心圓系方程： 與圓同心的圓系方程為：2．過直線與圓交點的圓系方程為：（1）當直線與圓交于兩點時，圓系中的所有圓是以為公共弦的一系列相交圓，其圓心在公共弦的垂直平分線上；（2）當直線與圓切于點時，這時圓系的圓心，而直線的法向量，∴，∴∥因此，，且直線為圓的過點的切線．又∵（過切點的半徑與切線垂直），∴與重合．由此可知，圓系中的所有圓（除圓外）與圓內切或外切于點，直線是它們的公切線，圓心都在直線上．3．過兩圓與交點的圓系方程為：．可知，圓心,因此，點共線，即圓系的所有圓的圓心都
2、在已知兩圓的連心線上．（1）當圓與圓相交于兩點時，則（即連心線與公共弦垂直），且弦為所有圓的公共弦；（2）當圓與圓內切或外切于點時，則在過切點的連心線上，圓系的所有圓都與已知的圓及圓在點處內切或外切．注意：（1）此圓系不含圓；（2）為了避免利用上述圓系方程時討論圓，可等價轉化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:（3）特別地，當時，上述方程稱為根軸方程．根軸的特點：位于已知兩圓外的根軸上的任意一點向圓系的所有圓所作的切線的長都相等．①當兩已知圓與圓于兩點時，方程表示公共弦所在直線的方程；②當圓與圓內切或外切于點時，方程表示過（內或
3、外）公切點的公切線方程．這時，除點外，公切線上的所有點均具有根軸的性質．二．圓系方程在解題中的應用例1．求經過兩圓和交點和坐標原點的圓的方程．解：設所求圓的方程為： ∵點在所求的圓上，將代入，得，解得故所求的圓的方程為：即?。?＋＝０。例2．求與圓切于點，且過點的圓的方程．解一：視點為點圓，構造圓系代入點，可得，∴所求的圓的方程為解二：過點的已知圓的切線方程為，與已知圓構造圓系代入點，可得，∴所求的圓的方程為例3.求經過直線與圓Ｃ：的交點且面積最小的圓的方程．解一：設圓的方程為，即，則，∴當時，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程
4、為：.解二：設圓的方程為，即，依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上，即，解得將代回圓系方程得，所求圓方程為作業(yè)：1.求與圓切于點，且過點的圓的方程．2.求過兩圓和的交點，且與直線相切的圓的方程．3.圓系中，任意兩個圓的位置關系如何？圓系方程及其應用（教師用）一．常見的圓系方程有如下幾種：1．以為圓心的同心圓系方程： 與圓同心的圓系方程為：2．過直線與圓交點的圓系方程為：（1）當直線與圓交于兩點時，圓系中的所有圓是以為公共弦的一系列相交圓，其圓心在公共弦的垂直平分線上；（2
5、）當直線與圓切于點時，這時圓系的圓心，而直線的法向量，∴，∴∥因此，，且直線為圓的過點的切線．又∵（過切點的半徑與切線垂直），∴與重合．由此可知，圓系中的所有圓（除圓外）與圓內切或外切于點，直線是它們的公切線，圓心都在直線上．3．過兩圓與交點的圓系方程為：．可知，圓心,因此，點共線，即圓系的所有圓的圓心都在已知兩圓的連心線上．（1）當圓與圓相交于兩點時，則（即連心線與公共弦垂直），且弦為所有圓的公共弦；（2）當圓與圓內切或外切于點時，則在過切點的連心線上，圓系的所有圓都與已知的圓及圓在點處內切或外切．注意：（1）此圓系不含圓；（2）為
6、了避免利用上述圓系方程時討論圓，可等價轉化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:（3）特別地，當時，上述方程稱為根軸方程．根軸的特點：位于已知兩圓外的根軸上的任意一點向圓系的所有圓所作的切線的長都相等．①當兩已知圓與圓于兩點時，方程表示公共弦所在直線的方程；②當圓與圓內切或外切于點時，方程表示過（內或外）公切點的公切線方程．這時，除點外，公切線上的所有點均具有根軸的性質．二、圓系方程在解題中的應用：例1．求經過兩圓和交點和坐標原點的圓的方程．解：設所求圓的方程為： ∵點在所求的圓上，∴ 有－2＋＝０． 從而＝２故所求的圓的方程為
7、：即?。?＋＝０。例2．求與圓切于點，且過點的圓的方程．解一：視點為點圓，構造圓系代入點，可得，∴所求的圓的方程為解二：過點的已知圓的切線方程為，與已知圓構造圓系代入點，可得，∴所求的圓的方程為例3.求經過直線與圓Ｃ：的交點且面積最小的圓的方程．解一：設圓的方程為，即，則，∴當時，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：.解二：設圓的方程為，即，依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上，即，解得將代回圓系方程，得所求的圓方程為練習：1.求與圓切于點，且過點的圓的方程．解：設
8、所求的圓方程為∵圓過點，將代入，得，解得，將代回圓系方程，得所求的圓方程為2.求過兩圓和的交點，且與直線相切的圓的方程．解：設所求的圓的方程為，即圓心，半徑圓心到直線的距離∵所求圓與直線相切，∴，即∴所求的圓的方程為，即
