第7章 梁的彎曲變形與剛度(1)

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1、第7章梁的彎曲變形與剛度概述梁平面彎曲時其變形特點是：梁軸線既不伸長也不縮短，其軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線，而且處處與梁的橫截面垂直，而橫截面在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)相對于原有位置轉(zhuǎn)動了一個角度（圖7-1）。顯然，梁變形后軸線的形狀以及截面偏轉(zhuǎn)的角度是十分重要的，實際上它們是衡量梁剛度好壞的重要指標(biāo)。圖7-1梁平面彎曲時的變形(a)(b)本章的主要目的是：研究梁變形后軸線以及截面偏轉(zhuǎn)角度應(yīng)滿足的方程。梁的變形與梁橫截面上內(nèi)力間的關(guān)系。建立梁的剛度條件，從而判別工程中的梁是否滿足剛度要求，或者控制梁的變形以滿足實際工程的剛度要求。7.1梁彎曲變形的基本概念7.1.1撓度在線彈性小變形條件下，

2、梁在橫力作用時將產(chǎn)生平面彎曲，則梁軸線由原來的直線變?yōu)榭v向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線，很明顯，該曲線是連續(xù)的光滑的曲線，這條曲線稱為梁的撓曲線（圖7-2）。梁軸線上某點在梁變形后沿豎直方向的位移（橫向位移）稱為該點的撓度。在小變形情況下，梁軸線上各點在梁變形后沿軸線方向的位移（水平位移）可以證明是橫向位移的高階小量，因而可以忽略不計。圖7-2梁的撓曲線撓度圖7-3梁的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角切線撓曲線的曲線方程：（7-1）稱為撓曲線方程或撓度函數(shù)。實際上就是軸線上各點的撓度，一般情況下規(guī)定：撓度沿軸的正向（向上）為正，沿軸的負(fù)向（向下）為負(fù)（圖7-4）。必須注意，梁的坐標(biāo)系的選取可以是任意的，即坐標(biāo)原點可以放

3、在梁軸線的任意地方，另外，由于梁的撓度函數(shù)往往在梁中是分段函數(shù)，因此，梁的坐標(biāo)系可采用整體坐標(biāo)也可采用局部坐標(biāo)。7.1.1轉(zhuǎn)角梁變形后其橫截面在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)相對于原有位置轉(zhuǎn)動的角度稱為轉(zhuǎn)角（圖7-3）。轉(zhuǎn)角隨梁軸線變化的函數(shù)：（7-2）稱為轉(zhuǎn)角方程或轉(zhuǎn)角函數(shù)。由圖7-3可以看出，轉(zhuǎn)角實質(zhì)上就是撓曲線的切線與梁的軸線坐標(biāo)軸的正方向之間的夾角。所以有：,由于梁的變形是小變形，則梁的撓度和轉(zhuǎn)角都很小，所以和是同階小量，即：，于是有：（7-3）即轉(zhuǎn)角函數(shù)等于撓度函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)。一般情況下規(guī)定：轉(zhuǎn)角逆時針轉(zhuǎn)動時為正，而順時針轉(zhuǎn)動時為負(fù)（圖7-4）。需要注意，轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)必須在相同的坐標(biāo)系下描

4、述，由式（7-3）可知，如果撓度函數(shù)在梁中是分段函數(shù)，則轉(zhuǎn)角函數(shù)亦是分段數(shù)目相同的分段函數(shù)。圖7-4梁的撓度和轉(zhuǎn)角的符號(a)正的撓度和轉(zhuǎn)角(b)負(fù)的撓度和轉(zhuǎn)角7.1.1梁的變形材料力學(xué)中梁的變形通常指的就是梁的撓度和轉(zhuǎn)角。但實際上梁的撓度和轉(zhuǎn)角并不是梁的變形，它們和梁的變形之間有聯(lián)系也有本質(zhì)的差別。如圖7-5（a）所示的懸臂梁和圖7-5（b）所示的中間鉸梁，在圖示載荷作用下，懸臂梁和中間鉸梁的右半部分中無任何內(nèi)力，在第二章曾強調(diào)過：桿件的內(nèi)力和桿件的變形是一一對應(yīng)的，即有什么樣的內(nèi)力就有與之相應(yīng)的變形，有軸力則桿件將產(chǎn)生拉伸或壓縮變形，有扭矩則桿件將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，有剪力則桿件將產(chǎn)生剪切變

5、形，有彎矩則桿件將產(chǎn)生彎曲變形。若無某種內(nèi)力，則桿件也沒有與之相應(yīng)的變形。因此，圖示懸臂梁和中間鉸梁的右半部分沒有變形，它們將始終保持直線狀態(tài)，但是，懸臂梁和中間鉸梁的右半部分卻存在撓度和轉(zhuǎn)角！事實上，材料力學(xué)中所說的梁的變形，即梁的撓度和轉(zhuǎn)角實質(zhì)上是梁的橫向線位移以及梁截面的角位移，也就是說，撓度和轉(zhuǎn)角是梁的位移而不是梁的變形?；叵肜瓑簵U以及圓軸扭轉(zhuǎn)的變形，拉壓桿的變形是桿件的伸長，圓軸扭轉(zhuǎn)變形是截面間的轉(zhuǎn)角，它們實質(zhì)上也是桿件的位移，是拉壓桿一端相對于另一端的線位移，而是扭轉(zhuǎn)圓軸一端相對于另一端的角位移，但拉壓桿以及圓軸扭轉(zhuǎn)的這種位移總是和其變形共存的，即只要有位移則桿件一定產(chǎn)生了變形

6、，反之只要有變形就一定存在這種位移（至少某段桿件存在這種位移）。但梁的變形與梁的撓度和轉(zhuǎn)角之間就不一定是共存的，這一結(jié)論可以從上面對圖7-5（a）所示的懸臂梁和圖7-5（b）所示的中間鉸梁的分析得到。(a)懸臂梁的變形(b)中間鉸梁的變形圖7-5撓度和轉(zhuǎn)角實質(zhì)上是梁的位移無變形無變形實際上，圖示懸臂梁和中間鉸梁右半部分的撓度和轉(zhuǎn)角是由于梁左半部分的變形引起的，因此可得如下結(jié)論：梁（或梁段）如果存在變形，則梁（或梁段）必然存在撓度和轉(zhuǎn)角。梁（或梁段）如果存在撓度和轉(zhuǎn)角，則梁（或梁段）不一定存在變形。所以，梁的變形和梁的撓度及轉(zhuǎn)角有聯(lián)系也存在質(zhì)的差別。7.2撓曲線的近似微分方程在上一章曾得到梁

7、變形后軸線的曲率方程為：高等數(shù)學(xué)中，曲線的曲率公式為：由于梁的變形是小變形，既撓曲線僅僅處于微彎狀態(tài)，則其轉(zhuǎn)角，所以，撓曲線的曲率公式可近似為：上章也分析了曲率的正負(fù)號的問題，結(jié)論是變形后梁軸線曲率的正負(fù)號與梁彎矩的正負(fù)號一致。因此綜合上列幾式有：（7-4）上式稱為撓曲線的近似微分方程。其中，是梁截面對中性軸的慣性矩。根據(jù)式（7-4），只要知道了梁中的彎矩函數(shù)，直接進行積分即可得到梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)以及撓度函數(shù)，從而可求出梁在