梁的彎曲變形與剛度(2)

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1、7.7梁的剛度7.7.1梁的剛度條件計算梁的變形的主要目的是為了判別梁的剛度是否足夠以及進(jìn)行梁的設(shè)計。工程中梁的剛度主要由梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角來限定，因此，梁的剛度條件可寫為：（7-10）其中，，分別是梁中的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角，，分別是許可撓度和許可轉(zhuǎn)角，它們由工程實際情況確定。工程中通常以度（）表示，而許可撓度通常表示為：上述兩個剛度條件中，撓度的剛度條件是主要的剛度條件，而轉(zhuǎn)角的剛度條件是次要的剛度條件。7.7.2剛度條件的應(yīng)用與拉伸壓縮及扭轉(zhuǎn)類似，梁的剛度條件有下面三個方面的應(yīng)用。（1）校核剛度給定了梁的載荷，約束，材料，長度以及截面的幾何尺寸等，還給定了梁的許可撓度和許可轉(zhuǎn)角。計算梁

2、的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角，判斷其是否滿足梁的剛度條件式（7-15）和式（7-16），滿足則梁在剛度方面是安全的，不滿足則不安全。很多時候工程中的梁只要求滿足撓度剛度條件式（7-15）即可，而梁的最大轉(zhuǎn)角由于很小，一般情況下不需要校核。（2）計算許可載荷給定了梁的約束，材料，長度以及截面的幾何尺寸等，根據(jù)梁的撓度剛度條件式（7-15）可確定梁的載荷的上限值。如果還要求轉(zhuǎn)角剛度條件滿足的話，可由式（7-16）確定出梁的另一個載荷的上限值，兩個載荷上限值中最小的那個就是梁的許可載荷。（3）計算許可截面尺寸給定了梁的載荷，約束，材料以及長度等，根據(jù)梁的撓度剛度條件式（7-15）可確定梁的截面尺寸的下限值。

3、如果還要求轉(zhuǎn)角剛度條件滿足的話，可由式（7-16）確定出梁的另一個截面尺寸的下限值，兩個截面尺寸下限值中最大的那個就是梁的許可截面尺寸。例7-21如圖7-41（a）所示的梁，其長度為，抗彎剛度為，當(dāng)梁的最大撓度不超過梁長的時，試確定梁的許可載荷。(a)(b)(c)圖7-41例7-21圖解：原梁根據(jù)圖7-41（b）所示的變形過程，等價于圖7-41（c）所示的懸臂梁。梁的最大撓度在自由端處，也就是原梁的最大撓度在點，為：根據(jù)剛度條件有：所以得：故梁的許可載荷為：7.7.1提高梁剛度的方法如前所述，梁的變形與梁的彎矩及抗彎剛度有關(guān)，而且與梁的支承形式及跨度有關(guān)。如圖7-42所示。所以，在梁的設(shè)計中，

4、當(dāng)一些因素確定后，可根據(jù)情況調(diào)整其它一些因素以達(dá)到提高梁的剛度的目的，具體方法如下：圖7-42影響梁變形的因素支承形式載荷形式與大小梁長抗彎剛度（1）調(diào)整載荷的位置，方向和形式目的是降低梁的彎矩，這與提高梁的強度的方法相同。（2）調(diào)整約束位置，加強約束或增加約束梁的變形通常與梁的跨度的高次方成正比，因此，減小梁的跨度是降低變形的有效途徑。，如圖7-43（a）所示，工程中常采用調(diào)整梁的約束位置或增加約束來減小梁的跨度（圖7-43（b），（c）），還可以加強梁的約束減小梁的最大撓度（圖7-43（d））。(a)(b)(c)(d)圖7-43提高梁的剛度的措施（3）提高梁的抗彎剛度選用彈性模量大的材料可

5、提高梁的剛度，但采用此種方法是不經(jīng)濟的，即彈性模量大的材料價格較高。選擇合理的截面形狀可提高梁的剛度，如采用工字形，箱形或空心截面等，增加截面對中性軸的慣性矩，既提高梁的強度也增加梁的剛度。但必須指出：小范圍內(nèi)改變梁截面的慣性矩，對全梁的剛度影響很小，因為梁的變形是梁的各段變形累積而成，但此種情況對梁的強度影響很大。7.8梁的簡單超靜定問題如果梁彎曲時，僅由平衡方程無法求出梁的支反力，或由截面法無法求出梁的內(nèi)力，則這種問題稱為梁的超靜定問題，相應(yīng)的梁稱為超靜定梁。如果平衡方程比未知數(shù)（可以是支反力，內(nèi)力或梁的幾何尺寸）少一個，則稱為一次超靜定問題或簡單超靜定問題；少個則稱為次超靜定問題，相應(yīng)的

6、梁稱為一次超靜定梁或次超靜定梁。典型的超靜定梁如圖7-44各圖所示。(a)(b)(c)(d)圖7-44梁的簡單超靜定問題(e)(f)顯然，梁的超靜定問題關(guān)鍵是求出梁的支反力或內(nèi)力，從而就可以按照前述過程計算梁的應(yīng)力和強度或者計算梁的變形和剛度。7.8.1簡單超靜定梁問題的解法超靜定梁的典型特征是約束過度，這種過度約束有可能是外部的（圖7-44（a）~（d）），也有可能是內(nèi)部的（圖7-44（e）（f））。過度的約束稱為多余約束，如圖7-45所示，一次超靜定梁通常有一個多余約束，而次超靜定梁通常有個多余約束。(a)一次超靜定梁圖7-45超靜定梁的多余約束多余約束多余約束多余約束多余約束(b)二次超

7、靜定梁(c)三次超靜定梁梁的超靜定問題的解法與拉壓及扭轉(zhuǎn)超靜定問題的解法類似，即：（a）列出梁的整體（或部分）平衡方程，判別梁是否是超靜定梁以及其超靜定次數(shù)。（b）在多余約束處列出梁的變形協(xié)調(diào)方程。（c）在多余約束處列出梁的物理方程。（d）將物理方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程得到補充方程，即可求解多余約束處的反力（或內(nèi)力）。一旦梁的內(nèi)力求出后，即可按梁的正常過程計算梁的應(yīng)力和變形，從而可解決超靜定梁的強度和剛度