梁的彎曲變形與剛度

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1、7.7梁的剛度7.7.1梁的剛度條件計(jì)算梁的變形的主要目的是為了判別梁的剛度是否足夠以及進(jìn)行梁的設(shè)計(jì)。工程中梁的剛度主要由梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角來(lái)限定，因此，梁的剛度條件可寫為：（7-10）其中，，分別是梁中的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角，，分別是許可撓度和許可轉(zhuǎn)角，它們由工程實(shí)際情況確定。工程中通常以度（）表示，而許可撓度通常表示為：上述兩個(gè)剛度條件中，撓度的剛度條件是主要的剛度條件，而轉(zhuǎn)角的剛度條件是次要的剛度條件。7.7.2剛度條件的應(yīng)用與拉伸壓縮及扭轉(zhuǎn)類似，梁的剛度條件有下面三個(gè)方面的應(yīng)用。（1）校核剛度給定了梁的

2、載荷，約束，材料，長(zhǎng)度以及截面的幾何尺寸等，還給定了梁的許可撓度和許可轉(zhuǎn)角。計(jì)算梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角，判斷其是否滿足梁的剛度條件式（7-15）和式（7-16），滿足則梁在剛度方面是安全的，不滿足則不安全。很多時(shí)候工程中的梁只要求滿足撓度剛度條件式（7-15）即可，而梁的最大轉(zhuǎn)角由于很小，一般情況下不需要校核。（2）計(jì)算許可載荷給定了梁的約束，材料，長(zhǎng)度以及截面的幾何尺寸等，根據(jù)梁的撓度剛度條件式（7-15）可確定梁的載荷的上限值。如果還要求轉(zhuǎn)角剛度條件滿足的話，可由式（7-16）確定出梁的另一個(gè)載荷的上限值，兩

3、個(gè)載荷上限值中最小的那個(gè)就是梁的許可載荷。（3）計(jì)算許可截面尺寸給定了梁的載荷，約束，材料以及長(zhǎng)度等，根據(jù)梁的撓度剛度條件式（7-15）可確定梁的截面尺寸的下限值。如果還要求轉(zhuǎn)角剛度條件滿足的話，可由式（7-16）確定出梁的另一個(gè)截面尺寸的下限值，兩個(gè)截面尺寸下限值中最大的那個(gè)就是梁的許可截面尺寸。例7-21如圖7-41（a）所示的梁，其長(zhǎng)度為，抗彎剛度為，當(dāng)梁的最大撓度不超過(guò)梁長(zhǎng)的時(shí)，試確定梁的許可載荷。(a)(b)(c)圖7-41例7-21圖解：原梁根據(jù)圖7-41（b）所示的變形過(guò)程，等價(jià)于圖7-41（c）所

4、示的懸臂梁。梁的最大撓度在自由端處，也就是原梁的最大撓度在點(diǎn)，為：根據(jù)剛度條件有：所以得：故梁的許可載荷為：7.7.1提高梁剛度的方法如前所述，梁的變形與梁的彎矩及抗彎剛度有關(guān)，而且與梁的支承形式及跨度有關(guān)。如圖7-42所示。所以，在梁的設(shè)計(jì)中，當(dāng)一些因素確定后，可根據(jù)情況調(diào)整其它一些因素以達(dá)到提高梁的剛度的目的，具體方法如下：圖7-42影響梁變形的因素支承形式載荷形式與大小梁長(zhǎng)抗彎剛度（1）調(diào)整載荷的位置，方向和形式目的是降低梁的彎矩，這與提高梁的強(qiáng)度的方法相同。（2）調(diào)整約束位置，加強(qiáng)約束或增加約束梁的變形通

5、常與梁的跨度的高次方成正比，因此，減小梁的跨度是降低變形的有效途徑。，如圖7-43（a）所示，工程中常采用調(diào)整梁的約束位置或增加約束來(lái)減小梁的跨度（圖7-43（b），（c）），還可以加強(qiáng)梁的約束減小梁的最大撓度（圖7-43（d））。(a)(b)(c)(d)圖7-43提高梁的剛度的措施（3）提高梁的抗彎剛度選用彈性模量大的材料可提高梁的剛度，但采用此種方法是不經(jīng)濟(jì)的，即彈性模量大的材料價(jià)格較高。選擇合理的截面形狀可提高梁的剛度，如采用工字形，箱形或空心截面等，增加截面對(duì)中性軸的慣性矩，既提高梁的強(qiáng)度也增加梁的剛度。

6、但必須指出：小范圍內(nèi)改變梁截面的慣性矩，對(duì)全梁的剛度影響很小，因?yàn)榱旱淖冃问橇旱母鞫巫冃卫鄯e而成，但此種情況對(duì)梁的強(qiáng)度影響很大。7.8梁的簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題如果梁彎曲時(shí)，僅由平衡方程無(wú)法求出梁的支反力，或由截面法無(wú)法求出梁的內(nèi)力，則這種問(wèn)題稱為梁的超靜定問(wèn)題，相應(yīng)的梁稱為超靜定梁。如果平衡方程比未知數(shù)（可以是支反力，內(nèi)力或梁的幾何尺寸）少一個(gè)，則稱為一次超靜定問(wèn)題或簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題；少個(gè)則稱為次超靜定問(wèn)題，相應(yīng)的梁稱為一次超靜定梁或次超靜定梁。典型的超靜定梁如圖7-44各圖所示。(a)(b)(c)(d)圖7-44梁的簡(jiǎn)

7、單超靜定問(wèn)題(e)(f)顯然，梁的超靜定問(wèn)題關(guān)鍵是求出梁的支反力或內(nèi)力，從而就可以按照前述過(guò)程計(jì)算梁的應(yīng)力和強(qiáng)度或者計(jì)算梁的變形和剛度。7.8.1簡(jiǎn)單超靜定梁?jiǎn)栴}的解法超靜定梁的典型特征是約束過(guò)度，這種過(guò)度約束有可能是外部的（圖7-44（a）~（d）），也有可能是內(nèi)部的（圖7-44（e）（f））。過(guò)度的約束稱為多余約束，如圖7-45所示，一次超靜定梁通常有一個(gè)多余約束，而次超靜定梁通常有個(gè)多余約束。(a)一次超靜定梁圖7-45超靜定梁的多余約束多余約束多余約束多余約束多余約束(b)二次超靜定梁(c)三次超靜定梁梁

8、的超靜定問(wèn)題的解法與拉壓及扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題的解法類似，即：（a）列出梁的整體（或部分）平衡方程，判別梁是否是超靜定梁以及其超靜定次數(shù)。（b）在多余約束處列出梁的變形協(xié)調(diào)方程。（c）在多余約束處列出梁的物理方程。（d）將物理方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程得到補(bǔ)充方程，即可求解多余約束處的反力（或內(nèi)力）。一旦梁的內(nèi)力求出后，即可按梁的正常過(guò)程計(jì)算梁的應(yīng)力和變形，從而可解決超靜定梁的強(qiáng)度和剛度