數(shù)學(xué)分析 第七講 反常積分

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1、數(shù)學(xué)分析第七講反常積分第七講非黎曼積分（反常積分）一、知識(shí)結(jié)構(gòu)我們知道黎曼積分要求積分區(qū)間有限，并且積分區(qū)間是閉區(qū)間（閉區(qū)域）.下面研究積分區(qū)間無(wú)限,或積分區(qū)間不是閉區(qū)間的積分,我們稱這樣的積分為反常積分,所謂反常是指相對(duì)于黎曼積分的反常.對(duì)正常積分,我們主要研究它的計(jì)算問題,而對(duì)反常積分,主要研究它的收斂問題.1、一元函數(shù)的反常積分(1)一元函數(shù)反常積分的概念和定義我們知道黎曼積分要求積分區(qū)間是有限閉區(qū)間?a,b?或有限閉區(qū)域D，如果將積分區(qū)間?a,b?換成無(wú)限區(qū)間[a,??)或非閉區(qū)間(a,b]（a是被積

2、函數(shù)的瑕點(diǎn)）或?a,???，由此產(chǎn)生的積分我們稱為反常積分，反常積分是相對(duì)于黎曼積分所提出的，“反?！敝笇⒗杪e分中的有限閉區(qū)間?a,b?換成無(wú)限區(qū)間[a,??)或非閉區(qū)間(a,b]（a是被積函數(shù)的瑕點(diǎn),即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處無(wú)界）.定義1函數(shù)f(x)在無(wú)限區(qū)間[a,??)連續(xù)，則定義???af(x)dx?lim??A????Aaf(x)dx，如果極限limA????Aaf(x)dx存在，我們稱反常積分?af(x)dx收斂.定義2函數(shù)f(x)在非閉區(qū)間(a,b]連續(xù)，而在點(diǎn)a右鄰域內(nèi)無(wú)界（a是被積函數(shù)f(x)

3、的瑕點(diǎn)）即函數(shù)在點(diǎn)a無(wú)界，則定義241?baf(x)dx?lim???0?ba??f(x)dx?lim?k?a?bkf(x)dx,如果極限lim???0?ba??f(x)dx存在，我們稱反常積分?f(x)dx收斂.ab函數(shù)f(x)在點(diǎn)a右鄰域內(nèi)無(wú)界的意思是：limf(x)??.注意:函數(shù)x?a?在點(diǎn)a沒有定義,但函數(shù)f(x)在點(diǎn)a右極限limf(x)可以存在,這時(shí)a不x?a?是被積函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn).例如,函數(shù)積分?1sinxx在點(diǎn)0處沒有定義,但limx?0sinx?x?1,所以x?0不是1sinxxdx的

4、瑕點(diǎn).?1sinxxdx不是反常積分.將積分?sinxxdx看作推廣的黎曼積分.因?yàn)?如果被積函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),則積分?f(x)dx為推廣的黎曼積分,它也是收斂的.ab定義3函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，a,b都是函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)，則定義?baf(x)dx??caf(x)dx??bcf(x)dx?lim???0?ca??f(x)dx?lim???0?b??cf(x)dx,如果極限lim???0?ca??f(x)dx和lim???0?b??cf(x)dx均存在，我

5、們稱反常積分?baf(x)dx收斂.定義4函數(shù)f(x)在無(wú)限區(qū)間(a,??)連續(xù)，a是函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)，則定義???af(x)dx??baf(x)dx?b???bf(x)dx?lim???0?ba??f(x)dx?limA????Abf(x)dx,如果極限lim???0?a??f(x)dx和limA????Abf(x)dx均存在，我們稱反常積分???af(x)dx收斂.242②積分區(qū)域無(wú)限且被積函數(shù)f(x,y)有瑕點(diǎn)（了解）.2、一元函數(shù)反常積分的性質(zhì)與收斂判別請(qǐng)同學(xué)們切記如下例子中的結(jié)論.例討論積分?解顯

6、然?111xdx和?p????1xp的斂散性.11x和?1x均發(fā)散.1xp1在區(qū)間(0,1]上,當(dāng)p?1時(shí),函數(shù)像下方,這時(shí)?1?1x,即前者的圖像在后者的圖1xp1x收斂(請(qǐng)同學(xué)給出證明).當(dāng)p?1時(shí),函數(shù)p1?1x,即前者的圖像在后者的圖像上方,這時(shí)?1xxp發(fā)散(請(qǐng)同學(xué)給出證明).?1x在區(qū)間[1,??)上,當(dāng)p?1時(shí),函數(shù)圖像上方,這時(shí)?1xp??1p,即前者的圖像在后者的1xp1發(fā)散(請(qǐng)同學(xué)給出證明).當(dāng)p?1時(shí),函數(shù)1?1x,即前者的圖像在后者的圖像下方,這時(shí)?1xp收斂(請(qǐng)同學(xué)給出證明).1結(jié)論

7、:??1???1?ppx????1，當(dāng)p?1時(shí)，,當(dāng)p?1時(shí)和???1????dx??1px?p?1?1，當(dāng)p?1時(shí)，,當(dāng)p?1時(shí).(1)無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂性判別①無(wú)窮積分的性質(zhì)(a)若?收斂,且?a??af1(x)dx與???af2(x)dx收斂,則???a??a[k1f1(x)?k2f2(x)]dx也????[k1f1(x)?k2f2(x)]dx?k1?243f1(x)dx?k2?af2(x)dx.(b)若f(x)在任何有限閉區(qū)間[a,u]上可積,a?b,則???af(x)dx與???b??f(x)dx

8、f(x)dx?同斂態(tài)(同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散),并且?a?baf(x)dx????bf(x)dx.??(c)若f(x)在任何有限閉區(qū)間[a,u]上可積,且有?則???aaf(x)收斂，f(x)dx收斂，且?????af(x)dx??????af(x).當(dāng)?af(x)收斂時(shí),稱?af(x)dx絕對(duì)收斂.我們稱收斂而不絕對(duì)收斂者為條件收斂.②無(wú)窮積分的收斂判別(a)柯西收斂準(zhǔn)則對(duì)無(wú)窮積分?判斷.定理1(柯西