數(shù)學分析11.1反常積分概念.doc

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1、第十一章反常積分1反常積分概念一、問題提出例1：(第二宇宙速度問題)在地球表面垂直發(fā)射火箭，要使火箭克服地球引力無限遠離地球，試問初速度v0至少要多大？解：設(shè)地球半徑為R，火箭質(zhì)量為m，地面上的重力加速度為g.按萬有引力定律，在距地心x(≥R)處火箭所受的引力為F=.于是火箭從地面上升到距離地心為r(>R)處需作的功為：dx=mgR2.當r→+∞時，其極限mgR就是火箭無限遠離地球需作的功.可表示為：dx=dx=mgR.又由機械能守恒定律可求得初速度v0至少應(yīng)滿足：mv02=mgR.以g=9.81m/s2,R=6.371×106m代入，可得v0

2、=≈11.2km/s.例2：圓柱形桶的內(nèi)壁高為h，內(nèi)半徑為R，桶底有一半徑為r的小孔，問從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水，共需多少時間？解：記桶中水液面到桶頂?shù)木嚯x為x，則水從孔中流出的流速為：v=，其中g(shù)為重力加速度.設(shè)很小一段時間dt內(nèi)，桶中液面降低的微小量為dx，則πR2dx=vπr2dt，即有dt=dx.∴流完一桶水所需的時間為：tf=dx，又被積函數(shù)在[0,h)上無界，所以它的確切含義為：tf=dx==.二、兩類反常積分的定義定義1：設(shè)函數(shù)f定義在無窮區(qū)間[a,+∞)上，且在任何有限區(qū)間[a,u]上可積，如果存在極限=J，則稱此極

3、限J為函數(shù)f在[a,+∞)上的無窮限反常積分(簡稱無窮積分)，記作J=dx，并稱dx收斂.若極限不存在，則稱dx發(fā)散.類似的，可定義f在(-∞,b]的無窮積分：dx=.又有dx=dx+dx,其中a為任意實數(shù)，僅當右邊兩個無窮積分都收斂時，dx才收斂.例3：討論無窮積分的收斂性.解：當p=1時，==lnu=+∞,當p<1時，===+∞,當p>1時，===,∴當p≤1時，發(fā)散于+∞;當p>1時，收斂.例4：討論下列無窮積分的收斂性：(1);(2).解：(1)∵=;根據(jù)例3的結(jié)論可知，當p≤1時發(fā)散;當p>1時收斂.(2)=+=+=+=arttanu

4、-arttanv=π，收斂.定義2：設(shè)函數(shù)f定義在區(qū)間(a,b]上，在a點的任一右鄰域內(nèi)無界，但在任何[u,b]?(a,b]上有界且可積.如果存在極限=J，則稱此極限為無界函數(shù)f在(a,b]上的反常積分，記作J=dx，并稱反常積分dx收斂.a稱為f的瑕點，而無界函數(shù)反常積分dx又稱為瑕積分.若極限不存在，則稱dx發(fā)散.類似的，可定義瑕點為b時的瑕積分：dx=.其中f在[a,b)有定義，在點b的任一左鄰域內(nèi)無界，但在任何[a,u]?[a,b)上可積.又若f的瑕點c∈(a,b)，則定義瑕積分dx=dx+dx=+,其中f在[a,c)∪(c,b]上有定

5、義，在點c的任一鄰域內(nèi)無界，但在任何[a,u]?[a,c)和[v,b]?(c,b]上都可積.當且僅當dx和dx都收斂時，dx才收斂.又若a,b都是f的瑕點，而f在任何[u,v]?(a,b)上可積，則定義瑕積分dx=dx+dx=+,其中c為(a,b)內(nèi)任一實數(shù).當且僅當和都收斂時，dx才收斂.例5：計算瑕積分的值.解：==arcsinu=.例6：討論瑕積分(q>0)的收斂性.解：當q=1時，==-lnu=+∞,當01時，===+∞,∴當q≥1時，發(fā)散于+∞;當00)，右邊兩個反常積分不同

6、時收斂，∴對任何實數(shù)p發(fā)散.習題1、討論下列無窮積分是否收斂？若收斂，則求其值：(1)dx；(2)dx；(3)dx；(4)；(5)；(6)dx；(7)dx；(8).解：(1)dx=dx==，收斂.(2)∵dx=dx==-.∴dx=dx+dx=0，收斂.(3)dx=-2d=-2=2，收斂.(4)===1-ln2，收斂.(5)∵===；===；∴=+=，收斂.(6)dx=dx=[-e-u(cosu+sinu)+1]=，收斂.(7)∵dx=dx=[eu(cosu-sinu)-1]=+∞，發(fā)散；∴dx發(fā)散.(8)===+∞，發(fā)散.2、討論下列瑕積分是否

7、收斂？若收斂，則求其值.(1)；(2)；(3)；(4)dx；(5)dx；(6)dx；(7)；(8).解：(1)當p=1時，===+∞，發(fā)散；當p≠1時，==，∴當p≥1時，=+∞，發(fā)散.當p<1時，=，收斂.(2)===+∞，發(fā)散.(3)=+=+=2-2=4，收斂.(4)dx==-=1，收斂.(5)dx=dx=(-ulnu-1+u)=-1，收斂.(6)dx=dt=2(dt-dt).又dt=arctan，當a→1-時，其極限為.dt=dtanθ=dθ=sinarctancosarctan+arctan，當a→1-時，其極限為.∴dx=2(-)=，

8、收斂.(7)取a∈(0,1)，則=+=+=2+2=π，收斂.(8)∵==又=+,a∈(0,1).∴當p=1時，==[ln(ln1)-ln(lna)]=